Dispersija un standartnovirze — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Par diskrēta gadījuma lieluma $X $ dispersiju sauc skaitli

D (X) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} p_{i}

, kur

μ = E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} p_{i}

- sagaidāmā vērtība.

Dispersija raksturo gadījuma lieluma $X$ izkliedi ap sagaidāmo vērtību.

Par diskrēta lieluma $X$ standartnovirzi sauc kvadrātsakni no dispersijas

σ = \sqrt{D (X)}

Dispersiju bieži apzīmē ar simbolu

σ^{2}

Sagaidāmo vērtību augstākajā matemātikā apzīmē arī ar $M(X)$ un mēdz saukt par matemātisko cerību.

Piemērs:

Uzņēmums pārdod automašīnas. Pārdošanas statistika uzrāda, ka pārdoto automašīnu skaits nedēļā ir ar tabulā doto varbūtību sadalījumu.

Gadījuma lielums $X$ - pārdoto automašīnu skaits nedēļā. Aprēķini gadījuma lieluma $X$

a) sagaidāmo vērtību;

b) dispersiju;

c) standartnovirzi.

Interpretē rezultātus.

$X = x_{i}$	$0$	$1$	$2$
$P (X = x_{i})$	0,25	0,43	0,32

Risinājums

Gadījuma lielums $X$ var pieņemt trīs dažādas vērtības ($n=3$):

$0$ - nav pārdotu automašīnu,

$1$ - ir viena pārdota automašīna,

$2$ - ir divas pārdotas automašīnas.

a) Aprēķina gadījuma lieluma $X$ sagaidāmo vērtību jeb matemātisko cerību:

E (X) = \sum_{i = 1}^{3} x_{i} p_{i} =

= 0 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,43 + 2 \cdot 0,32 = 1,07

Tas nozīmē, ka vidējais pārdoto automašīnu skaits nedēļā ir 1,07, ar nosacījumu, ka mēģinājumu skaits ir pietiekami liels. Tātad - ja varbūtību sadalījums paliek nemainīgs vairākus gadus un katru nedēļu reģistrē pārdoto automašīnu skaitu, tad vidējais pārdoto automašīnu skaits būs aptuveni 1,07.

b) Aprēķina gadījuma lieluma $X$ dispersiju

D (X) = \sum_{i = 1}^{3} {(x_{i} - E (X))}^{2} p_{i} =

= {(0 - 1,07)}^{2} \cdot 0,25 + {(1 - 1,07)}^{2} \cdot 0,43 + {(2 - 1,07)}^{2} \cdot 0,32 = 0,5651

c) Aprēķina standartnovirzi

σ = \sqrt{D (X)} = \sqrt{0,5651} \approx 0,7517

"Dispersija raksturo datu izkliedi ap matemātisko cerību. Tomēr dispersija dod tikai vispārīgu priekštatu par variācijas līmeni datu kopā (ir diezgan grūti kvantitatīvi interpretēt faktu, ka $D(X)=$ 0,5651). Ja tiek salīdzinātas divas vai vairākas datu kopas ar vienu un to pašu matemātisko cerību, tad kopai , kurai ir lielāka dispersija, atbilst lielāka datu izkliede. No dispersijas definīcijas izriet, ka dispersijas mērvienība ir gadījuma lieluma $X$ mērvienības kvadrāts.

Standartnovirze ir kvadrātsakne no dispersijas, tāpēc standartnovirzes mērvienība sakrīt ar gadījuma lieluma $X$ mērvienību. Piemērā standartnovirze (0,7517) ir salīdzināma ar matemātisko cerību (1,07). Tā kā standartnovirze raksturo gadījuma lieluma izkliedi ap matemātisko cerību, tad lai raksturotu pārdoto automašīnu skaita sadalījumu, ir nepieciešams aplūkot ne tikai matemātisko cerību, bet arī standartnovirzi."

Vingrinies portālā, atrisinot 10. uzdevumu!

Jaunajā matemātikas standartā nav pieminēts, ka jāprot rēķināt gadījuma lieluma dispersija un standartnovirze.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

7. Dispersija un standartnovirze

Teorija