Varbūtību diagramma un pilnās varbūtības formula — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Pilnās varbūtības formula

Ja notikums \(A\) var iestāties kopā ar vienu no nesavienojamiem notikumiem

E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}

, t.i.,

A = A E_{1} + A E_{2} + ... + A E_{n}

, tad notikuma \(A\) varbūtību aprēķina pēc pilnās varbūtības formulas:

P (A) = P (E_{1}) \cdot P (A {| E}_{1}) + P (E_{2}) \cdot P (A | E_{2}) + ... + P (E_{n}) \cdot P (A | E_{n})

P (A) = \sum_{k = 1}^{n} P (H_{k}) \cdot P (A | H_{k})

Notikumi

A E_{1}, A E_{2}, ..., A E_{n}

ir nesavienojami, ja

E_{1}, E_{2}, ..., E_{n}

veido pilnu grupu, t.i.,

E_{1} + E_{2} + ... + E_{n} = Ω

P (E_{1}) + P (E_{2}) + ... + P (E_{n}) = 1

Risinot uzdevumus, kuros lieto pilnās varbūtības likumu, pārskatāmībai izdevīgi veidot varbūtību diagrammu.

To var zīmēt vertikāli vai horizontāli.

Aplūkosim piemēru.

Sēklu paciņā ir divu veidu sēklas - 70% zaļo sēklu un 30% melno sēklu. Zināms, ka no simts zaļajām sēklām uzdīgst 20 sēklas, bet no simts melnajām sēklām uzdīgst 90 sēklas.

Aprēķini varbūtību, ka nejauši izvēlēta sēkla

a) uzdīgs

b) neuzdīgs.

Risinājums.

Izveidojam šādu notikumu kopu:

E_{z}

- "nejauši izvēlēta sēkla ir zaļa",

E_{m}

- "nejauši izvēlēta sēkla ir melna".

Abi notikumi veido pilnu nesavienojamu notikumu kopu, jo cita veida sēklu nav.

P (E_{z}) + P (E_{m}) = 1

Šajā notikumu kopā aplūkosim notikumus:

\(A\) - "sēkla uzdīgs",

\bar{A}

- "sēkla neuzdīgs".

Izveidosim varbūtību diagrammu. Ievēro! varbūtību diagramma ir tikai ilustrācija, tā neaizvieto risinājuma pierakstu.

\begin{array}{l} 1 \\ / \ \\ 0,7 0,3 \\ E_{z} E_{m} \\ / \ / \ \\ 0,2 0,8 0,9 0,1 \\ A \bar{A} A \bar{A} \\ P_{(A \cap z)} P_{(\bar{A} \cap z)} P_{(A \cap m)} P_{(\bar{A} \cap m)} \\ 0,14 0,56 0,27 0,03 \end{array}

\(\)

P (E_{z}) =

\(\)

70 %

\(=\)0,7 - varbūtība, ka sēkla ir zaļa.

\(\)

P (E_{m}) =

\(\)

30 %

\(=\)0,3 - varbūtība, ka sēkla ir melna.

Rezultātus ieraksta diagrammas augšējā rindā.

Aprēķina nosacītās varbūtības.

\(\)

P (A | E_{z}) =

\(\)

\frac{20}{100}

\(=0,2\) - varbūtība, ka sēkla uzdīgs, ja tā ir zaļa.

P (\bar{A} | E_{z}) =

1 - 0,2

\(=0,8\) - varbūtība, ka sēkla neuzdīgs, ja tā ir zaļa.

\(\)

P (A | E_{m}) =

\(\)

\frac{90}{100}

\(=0,9\) - varbūtība, ka sēkla uzdīgs, ja tā ir melna.

P (\bar{A} | E_{m})

1 - 0,9

\(=0,1\) - varbūtība, ka sēkla neuzdīgs, ja tā ir melna.

Rezultātus ieraksta otrajā skaitļu rindā.

Aizpildām diagrammas trešo skaitļu rindu, lietojot atkarīgu notikumu varbūtību reizināšanas teorēmu.

P (A \cap E_{z}) = P (E_{z}) \cdot P (A | E_{z}) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14

- varbūtība, ka sēkla uzdīgs un tā ir zaļa.

P (\bar{A} \cap E_{z}) = P (E_{z}) \cdot P (\bar{A} | E_{z}) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56

- varbūtība, ka sēkla neuzdīgs un tā ir zaļa.

P (A \cap E_{m}) = P (E_{m}) \cdot P (A | E_{m}) = 0,3 \cdot 0,9 = 0,27

- varbūtība, ka sēkla uzdīgs un tā ir melna.

P (\bar{A} \cap E_{m}) = P (E_{m}) \cdot P (\bar{A} | E_{m}) = 0,3 \cdot 0,1 = 0,03

- varbūtība, ka sēkla neuzdīgs un tā ir melna.

a) Lietojot pilnās varbūtības likumu, aprēķina varbūtību, ka izvēlētā sēkla uzdīgs, neatkarīgi no krāsas.

\begin{array}{l} P (A) = P (E_{z}) \cdot P (A | E_{z}) + P (E_{m}) \cdot P (A | E_{m}) \\ P (A) = 0,14 + 0,27 = 0,41 \end{array}

b) Lietojot pilnās varbūtības likumu, aprēķina varbūtību, ka izvēlētā sēkla neuzdīgs, neatkarīgi no krāsas.

\begin{array}{l} P (\bar{A}) = P (E_{z}) \cdot P (\bar{A} | E_{z}) + P (E_{m}) \cdot P (\bar{A} | E_{m}) \\ P (\bar{A}) = 0,56 + 0,03 = 0,59 \end{array}

Svarīgi!

Ievēro, ka uzdevuma b) piem. varēja atrisināt citādāk.

Ja ir iegūta varbūtība tam, ka sēkla uzdīgs, varbūtība, ka sēkla neuzdīgs ir

P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - 0,41 = 0,59

, jo

P (E_{z}) \cdot P (A | E_{z}) + P (E_{m}) \cdot P (A | E_{m}) + P (E_{z}) \cdot P (\bar{A} | E_{z}) + P (E_{m}) \cdot P (\bar{A} | E_{m}) = 1

jeb

P (A \cap E_{z}) + P (A \cap E_{m}) + P (\bar{A} \cap E_{z}) + P (\bar{A} \cap E_{m}) = 1

Atbilde: a) Varbūtība, ka sēkla uzdīgs ir 0,41.

b) Varbūtība, ka sēkla neuzdīgs ir 0,59.

Formulu lapā dotā pilnās varbūtības formula:

Formulu lapā matemātika I dotā nosacītās varbūtības formula.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Skola2030 kursu materiāli

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

4. Varbūtību diagramma un pilnās varbūtības formula

Teorija