Atkārtojums. Ģeometriskā progresija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

Virkni (

b_{n}

), kurā katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējo locekli reizinot ar vienu un to pašu skaitli \(q\), sauc par ģeometrisko progresiju.

Ja virkne (

b_{n}

) ir ģeometriskā progresija, tad jebkurai naturālai \(n\) vērtībai ir pareiza sakarība:

b_{n + 1} = b_{n} \cdot q

Skaitli \(q\) sauc par ģeometriskās progresijas kvocientu.

Ja zināms ģeometriskās progresijas (

b_{n}

) pirmais loceklis

b_{1}

un kvocients \(q\), tad iespējams aprēķināt jebkuru progresijas locekli.

b_{2} = b_{1} \cdot q

b_{3} = b_{2} \cdot q = b_{1} \cdot q \cdot q = b_{1} \cdot q^{2}

b_{4} = b_{1} \cdot q^{3}

utt.

Ģeometriskās progresijas vispārīgo locekli

b_{n}

aprēķina, izmantojot formulu:

b_{n}

\(=\)

b_{1} \cdot q^{n - 1}

kur \(n\) - virknes locekļa numurs (kārtas numurs),

b_{1}

- virknes pirmais loceklis, \(q\) - kvocients.

Piemērs:

Aprēķini ģeometriskās progresijas pirmos piecus locekļus un uzrakstīt \(n\)-tā locekļa formulu, ja

b_{1}

\( = 8\) un \(q = 0,5\).

Risinājums:

b_{1}

\(= 8 \)

b_{2} = b_{1} \cdot q

\( = \)

8 \cdot 0,5

\(= \)4

b_{3} = b_{2} \cdot q

\( = \)

4 \cdot 0,5

\(= \)2

b_{4} = b_{3} \cdot q

\( = \)

2 \cdot 0,5

\(= \)1

b_{5} = b_{4} \cdot q

\( = \)

1 \cdot 0,5

\(= \)0,5

...

b_{n}

\( = \)

8 \cdot {0,5}^{n - 1}

Ģeometriskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summa

Ģeometriskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summu

S_{n}

var iegūt, aprēķinot virknes locekļus

b_{1}

b_{2}

, ...,

b_{n}

un tos saskaitot. Tomēr šāds summas aprēķināšanas paņēmiens ir izdevīgs tikai tad, ja nepieciešama dažu pirmo locekļus summa. Ja jārēķina vairāku progresijas locekļu summa, lieto ģeometriskās progresijas summas formulu.

S_{n}

= \frac{b_{n} q - b_{1}}{q - 1}

, kur \(n\) - virknes locekļu skaits (kārtas numurs)

b_{1}

- virknes pirmais loceklis,

b_{n}

- virknes \(n\)-tais loceklis, \(q\) - kvocients.

Bieži vien, risinot uzdevumus, ērtāk izmantot

S_{n}

= \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

Piemērs:

Aprēķini ģeometriskās progresijas pirmo piecu locekļu summu, ja

b_{1}

\(= 8\) un \(q = 0,5\).

I variants

Aplūkojot pirmo piemēru, ir redzams:

b_{1}

\( = 8\),

b_{2}

\( = \)4,

b_{3}

\( = \)2,

b_{4}

\( = \)1 un

b_{5}

\( = \)0,5.

Saskaitot šos piecus skaitļus, iegūsim summu (pirmajiem \(5\) locekļiem):

S_{n}

\( = \)

S_{5}

\( = \)

b_{1}

\( + \)

b_{2}

\( + \)

b_{3}

\( + \)

b_{4}

\( + \)

b_{5}

\( = \)

8 + 4 + 2 + 1 + 0,5

\( = \)15,5

II variants

Izmantosim 1. formulu:

S_{n}

= \frac{b_{n} q - b_{1}}{q - 1}

, kur \(n = 5\),

b_{1}

\( = 8\) un \(q = 0,5\)

Pēc iepriekš aprēķinātā

b_{n}

\( = \)

b_{5}

\( = 0,5\) (jo \(n = 5\))

S_{5}

\( = \)

\frac{(0,5 \cdot 0,5 - 8)}{(0,5 - 1)}

\( = \)15,5

III variants

Izmantosim 2. formulu:

S_{n}

= \frac{b_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1}

S_{5}

\(=\)

\frac{8 \cdot ({0,5}^{5} - 1)}{0,5 - 1}

\(= \)15,5

Kā redzams, visi trīs risināšanas varianti noved pie viena atrisinājuma.

Atbilde: Pirmo piecu locekļu summa

S_{5}

\(= \)15,5.

Ģeometriskās progresijas īpašība

Trīs pēc kārtas sekojošiem ģeometriskās progresijas locekļiem izpildās likums:

b_{n}^{2} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}

, kur

n \geq 2

Atkārto uzdevumu risināšanu matemātika I

Formulas var atrast Matemātika I formulu lapā

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

2. Atkārtojums. Ģeometriskā progresija

Teorija