Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija un daļas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ģeometrisko progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu, ja tās kvocients \(q\) pēc moduļa ir mazāks par \(1\) (\(|q|<1\)).

Viens no bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulas pielietojumiem ir pāreja no bezgalīgas periodiskas decimāldaļas uz parastu daļu.

Piemērs:

Pārveido skaitli \(0,(17)\) par parastu daļu!

Risinājums:

Šo periodisko decimāldaļskaitli var uzrakstīt kā summu.

\(0,(17)=0,1717171717...=0,17+0,0017+0,000017+...\)

Summas saskaitāmie veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju, kurā \(q=0,01\), bet pirmais loceklis ir \(0,17\).

Izmanto summas formulu:

S_{\infty} = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{0, 17}{1 - 0, 01} = \frac{0, 17}{0, 99} = \frac{17}{99}

Atbilde:

0, (17) = \frac{17}{99}

Ne vienmēr visa uzrakstītā summa veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju. Aplūkosim piemēru, kurā skaitlim ir cipars pirms komata un priekšperiods.

Piemērs:

Pārveido skaitli \(2,17(4)\) par parastu daļu!

Risinājums:

Šo periodisko decimāldaļskaitli var uzrakstīt kā summu.

\(2,17(4)=2,1744...=2+0,17+0,004+0,0004+...\)

Sākot ar trešo saskaitāmo, iegūta bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija, kurā \(q=0,1\), bet pirmais loceklis ir \(0,004\)

Izmanto summas formulu: