Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ģeometrisko progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu, ja tās kvocients \(q\) pēc moduļa ir mazāks par \(1\) (\(|q|<1\)).

Kvocients var būt gan negatīvs, gan pozitīvs lielums,

Piemēram, kvocients var būt

- 0, 3; \frac{1}{\sqrt{2}}; - \frac{1}{3}; \frac{7}{8}

.

Par bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas locekļu summu sauc skaitli, uz kuru tiecas šīs progresijas pirmo \(n\) locekļu summa, \(n\) vērtībai neierobežoti palielinoties.

S_{\infty} = \frac{b_{1}}{1 - q}

Piemērs:

Riņķa līnijā, kuras rādiuss ir \(10\) cm, ievilkts kvadrāts, kvadrātā ievilkta riņķa līnija utt., iegūstot bezgalīgi daudz kvadrātu un riņķa līniju (skat. zīm.).

Aprēķini visu kvadrātu perimetru summu!

Risinājums:

Pārbauda, vai dota bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.

Var aprēķināt: ja riņķa līnijas rādiuss ir \(10\) cm, tad ievilktā kvadrāta mala ir

10 \sqrt{2}

cm, nākošā kvadrāta mala ir \(10\) cm, nākošā

5 \sqrt{2}

cm utt.

Kvadrātu perimetri veido virkni:

40 \sqrt{2}; 40; 20 \sqrt{2}; ...

\frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{40}{40 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} un \frac{b_{2}}{b_{3}} = \frac{20 \sqrt{2}}{40} = \frac{\sqrt{2}}{2} utt.

Redzam, ka

q = \frac{\sqrt{2}}{2} |q| < 1

Izmantojam bezgalīgi dilstošas ģeometriskās progresijas summas formulu:

S_{\infty} = \frac{b_{1}}{1 - q} = \frac{40 \sqrt{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{40 \sqrt{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{80 \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

Atbilde: Visu kvadrātu perimetru summa ir

\frac{80 \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

cm

Formulu var atrast matemātikas II formulu lapā: Formulas

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!