Eksponenciālā dilšana. Radioaktīvā sabrukšana — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ir procesi, kuros kāds procesu raksturojošs lielums $y$ laikā $t$ samazinās.

Šādus procesus sauc par eksponenciāli dilstošiem procesiem un tos var izteikt ar funkciju

y = y_{0} a^{- kt}

jeb

y = y_{0} {(\frac{1}{a})}^{kt}

, kur

Parasti pētījumos par bāzi izvēlas konstanti $e$, tad

y = y_{0} e^{- kt}

Eksponenciālās dilšanas piemēri:

RADIOAKTĪVĀS SABRUKŠANAS PROCESS

Radioaktīvās vielas masu m atkarībā no laika $t$ izsaka ar funkciju

m = m_{0} e^{- kt}

, kur

m_{0}

ir masa laika atskaites sākumā.

Proporcionalitātes koeficientu $k$ atrod eksperimentāli. Parasti nosaka laiku $T$, kādā vielas masa

m_{0}

samazinājusies $2$ reizes, t.i. masa ir

\frac{1}{2} m_{0}

. Šo laiku sauc par radioaktīvās vielas pussabrukšanas periodu.

No vienādības

\frac{1}{2} m_{0} = m_{0} e^{- kT}

iegūst, ka

e^{- kT} = \frac{1}{2}

Izsaka kāpinātāju ar naturālo logaritmu:

\begin{array}{l} - kT = \ln \frac{1}{2} \\ - kT = ln1 - \ln 2 \\ - kT = - \ln 2 \\ k = \frac{\ln 2}{T} \end{array}

Izmantojot funkciju

m = m_{0} e^{- kt}

, kur

k = \frac{\ln 2}{T}

, var aprēķināt radioaktīvās vielas daudzumu pēc noteikta laika $t$, ja zināms tās sākotnējais daudzums

m_{0}

un pussabrukšanas periods $T$.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

7. Eksponenciālā dilšana. Radioaktīvā sabrukšana