Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Zinām, ka virkni var definēt rekurenti un ar vispārīgā locekļa formulu. Lai iegūtu virknes locekļus ar lielu kārtas numuru, rekurences sakarība nav izdevīga. Tāpēc svarīgi iegūt analītisko izteiksmi, pie tam, būt drošiem, ka tā ir patiesa.
 
Aplūkosim piemēru, kurā izmanto MIP (matemātiskās indukcijas principu).
Piemērs:
Virkne an uzdota rekurenti: a1=1 un an+1=an1n(n+1)
Pierādi, ka šīs virknes vispārīgo locekli an var definēt ar formulu an=1n.
Indukcijas bāze. Formulā an=1n ievietojot \(n=1\), iegūst a1=11=1. Tātad , ja \(n=1\), formula ir pareiza.
 
Induktīvais pieņēmums. Pieņem, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\). Tātad ak=1k.
Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka formula ir pareiza arī tad, ja \(n=k+1\), t.i., ak+1=1k+1.
 
Pēc dotā ak+1=ak1k(k+1). Tā kā pēc induktīvā pieņēmuma ak=1k, tad iegūstam, ka
ak+1=1k1k(k+1)ak+1=1k(k+11k(k+1)ak+1=k+11kk+1ak+1=kkk+1ak+1=1k+1
 
Tādējādi, lietojot matemātiskās indukcijas metodi, esam pierādījuši, ka visām naturālām \(n\) vērtībām formula an=1n ir pareiza.
 
Pamēģini pierādīt patstāvīgi, ka virkni  an var definēt ar formulu an=2n12, ja virkne ir uzdota rekurenti: a1=1 un an+1=an+8n.
(Atrisinājums dots skolotāja metodiskajos materiālos)
  
Uzziņa
Matemātiskās indukcijas princips.
  
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1\)) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1\)) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja