Matemātiskās indukcijas principu var izmantot, lai noteiktu skaitļu virknes summas formulu.
Aplūkosim piemēru.
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\)
\(1+3+5+7+…+(2n+1)=(n+1)² \)
Lieto matemātiskās indukcijas principu:
1) Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad
Ievēro, ka, ja \(n=1\), tad tā jau ir divu pirmo saskaitāmo summa, jo .
2) Induktīvais pieņēmums.
Izvēlēsimies kaut kādu naturālu skaitli \(k\) un pieņemsim, ka vienādība ir \(1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)²\) ir patiesa
3) Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka tad vienādība ir pareiza arī ar \(k+1\)
\(1+3+5+…+(2(k+1)+1)=((k+1)+1)²\)
Vispirms pārveidojam vienādības kreiso pusi, neaizmirstam pievienot arī pirmspēdējo saskaitāmo:
\(1+3+5+…+(2k+1)+(2(k+1)+1)=\)
\(=1+3+5+…+(2k+1)+(2k+2+1)=\)
\(=1+3+5+…+(2k+1)+(2k+3)\)
No induktīvā pieņēmuma izriet, ka \(1+3+5+…+(2k+1) = (k+1)²\)
tātad \(1+3+5+…+(2k+1)+(2k+3)=(k+1)²+(2k+3)\)
Atverot iekavas: \(k²+2k+1+2k+3 = k²+4k+4=(k+2)²\)
Salīdzinām ar vienādības labo pusi - ar to izteiksmi, kura ir jāiegūst: \(((k+1)+1)²=(k+2)²\)
Redzam, ka abas izteiksmes ir vienādas:
\((k+2)²=(k+2)²\)
Tātad apgalvojums "\(1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)²\) visiem naturāliem \(n\)" ir pierādīts.
Pamēģini patstāvīgi pierādīt apgalvojumu \(1+3+5+7+…+(2n-1)=n²\) jebkuram naturālam \(n\).
Uzziņa
Matemātiskās indukcijas princips.
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1\)) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1\)) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
Atsauce:
http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
SKOLA2030