Zinām, ka virkni var definēt rekurenti un ar vispārīgā locekļa formulu. Lai iegūtu virknes locekļus ar lielu kārtas numuru, rekurences sakarība nav izdevīga. Tāpēc svarīgi iegūt analītisko izteiksmi, pie tam, būt drošiem, ka tā ir patiesa.
Aplūkosim piemēru, kurā izmanto MIP (matemātiskās indukcijas principu).
Piemērs:
Virkne uzdota rekurenti: un
Pierādi, ka šīs virknes vispārīgo locekli var definēt ar formulu .
Indukcijas bāze. Formulā ievietojot \(n=1\), iegūst . Tātad , ja \(n=1\), formula ir pareiza.
Induktīvais pieņēmums. Pieņem, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\). Tātad .
Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka formula ir pareiza arī tad, ja \(n=k+1\), t.i., .
Pēc dotā . Tā kā pēc induktīvā pieņēmuma , tad iegūstam, ka
Tādējādi, lietojot matemātiskās indukcijas metodi, esam pierādījuši, ka visām naturālām \(n\) vērtībām formula ir pareiza.
Pamēģini pierādīt patstāvīgi, ka virkni var definēt ar formulu , ja virkne ir uzdota rekurenti: un .
(Atrisinājums dots skolotāja metodiskajos materiālos)
Uzziņa
Matemātiskās indukcijas princips.
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1\)) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1\)) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja