Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Lietojot MIP, pierādi, ka 1+3+5+...+(2n1)=n2 katram naturālam \(n.\)

1) Indukcijas bāze.
Ja n=i, tad 2ii=i2, redzam, ka i=i, tātad vienādība ir patiesa.

2) Induktīvais pieņēmums.
Izvēlēsimies patvaļīgu naturālu skaitli  un pieņemsim, ka vienādība ir 1+3+5+...+(2k1)=k2 ir patiesa.
 
3) Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka tad pareiza ir arī vienādība ar .
1+3+5+...+(ii1)=i2¯¯
 
Pārveidojot vienādības kreiso pusi un pievienojot arī pirmspēdējo saskaitāmo, iegūst:
 
1+3+5+...+(iki)+(2k+i)
 
No induktīvā pieņēmuma izriet, ka 1+3+5+...+(2k1)=k2, izmantojot to, kreisajā pusē iegūstam
i2+(ik+1)
 
Atverot iekavas, iegūst
i2+2k+i=i2
 
 
Salīdzinām ar vienādības labo pusi - ar to izteiksmi, kura bija jāiegūst: i2¯¯.
Redzam, ka vienādības labās puses un kreisās puses izteiksmes ir vienādas:
 
Tātad apgalvojums "1+3+5+...+(2n1)=n2 visiem naturāliem \(n\)" ir pierādīts.
 
 
Uzziņa
  
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1\)) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1\)) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
 
Atsauce:
http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!