Lietojot MIP, pierādi, ka katram naturālam \(n.\)
1) Indukcijas bāze.
Ja , tad , redzam, ka , tātad vienādība ir patiesa.
2) Induktīvais pieņēmums.
Izvēlēsimies patvaļīgu naturālu skaitli un pieņemsim, ka vienādība ir ir patiesa.
3) Induktīvā pāreja.
Pierādīsim, ka tad pareiza ir arī vienādība ar .
Pārveidojot vienādības kreiso pusi un pievienojot arī pirmspēdējo saskaitāmo, iegūst:
No induktīvā pieņēmuma izriet, ka , izmantojot to, kreisajā pusē iegūstam
Atverot iekavas, iegūst
Salīdzinām ar vienādības labo pusi - ar to izteiksmi, kura bija jāiegūst: .
Redzam, ka vienādības labās puses un kreisās puses izteiksmes ir vienādas:
Tātad apgalvojums " visiem naturāliem \(n\)" ir pierādīts.
Uzziņa
Ja izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess gadījumā, kad \(𝑛 = 1\), un ja no šī izteikuma patiesuma jebkuram skaitlim \(𝑛 = 𝑘\) izriet, ka tas ir patiess skaitlim \(𝑛 = 𝑘 + 1\), tad izteikums \(𝐴(𝑛)\) ir patiess jebkuram skaitlim \(𝑛\).
1) Indukcijas bāze: pārbauda, vai \(A(1\)) ir patiess \((n=1). \)
2) Induktīvais pieņēmums: pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess \((n=k). \)
3) Induktīvā pāreja: pierāda, ka tādā gadījumā arī \(A(k+1\)) ir patiess \((n=k+1). \)
4) Secinājums: secina, ka \(A(n)\) ir patiess visām naturālām \(n\) vērtībām.
Atsauce:
http://www.lanet.lv/info/matind/mim-03.htm
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!