Virknes vispārīgā locekļa formulas pierādījums ar MIP — uzdevums. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Virkne

(a_{n})

uzdota rekurenti:

a_{1} = 1

;

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3

Pierādi, ka šīs virknes vispārīgo locekli

a_{n}

var definēt ar formulu

a_{n} = 2^{n + 1} - 3

, kur

n \in ℕ

Papildini pierādījumu!

Indukcijas bāze.

Formulā

a_{n} = 2^{n + 1} - 3

ievietojot \(n=1\), iegūst

a_{1} = 2^{1 + 1} - 3 = i

. Tātad , ja \(n=1\), formula ir pareiza.

Induktīvais pieņēmums.

Pieņem, ka formula ir pareiza, ja \(n=k\). Tātad

a_{k} = 2^{k + 1} - 3

Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka formula ir pareiza arī tad, ja \(n=k+1\), t.i.,

a_{k + 1} = 2^{(k + 1) + 1} - 3

jeb

a_{k + 1} = i^{k + i} - 3

, vienkāršojot labo pusi.

Pēc dotā

un pēc induktīvā pieņēmuma

iegūstam, ka

Atverot iekavas iegūst

Savelkot līdzīgos, iegūst

Tādējādi, lietojot matemātiskās indukcijas metodi, esam pierādījuši, ka visām naturālām \(n\) vērtībām formula

ir pareiza.

Atbilžu varianti:

a_{k} = 2^{k + 1} - 3

a_{n} = 2^{n + 1} - 3

a_{k + 1} = 2 (2^{k + 1} - 3) + 3

a_{k + 1} = 2^{k + 2} - 3

a_{k + 1} = 2 a_{k} + 3

a_{k + 1} = 2 \cdot 2^{k + 1} - 6 + 3

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

7. Virknes vispārīgā locekļa formulas pierādījums ar MIP