Punkta novietojums attiecībā pret elipsi — teorija. Matemātika, Augstskola: 1. kurss.

Punkta un elipses savstarpējais novietojums

Svarīgi!

Ja dots elipses kanoniskais vienādojums

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

, tad var būt šādi trīs punkta

(x_{0}; y_{0})

novietojumi (attiecībā pret elipsi):

1) punkts atrodas elipses iekšienē, ja

\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} < 1

;

2) punkts atrodas uz elipses, ja

\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1

;

3) punkts atrodas ārpus elipses, ja

\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} > 1

Piemērs.

Dota elipse

\frac{x^{2}}{32} + \frac{y^{2}}{18} = 1

Punkts

(4; 3)

atrodas uz elipses, jo

\frac{4^{2}}{32} + \frac{3^{2}}{18} = \frac{16}{32} + \frac{9}{18} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Punkts

(5; 2)

atrodas ārpus šīs elipses, jo

\frac{5^{2}}{32} + \frac{2^{2}}{18} = \frac{25}{32} + \frac{4}{18} = \frac{25 \cdot 9}{32 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 16}{18 \cdot 16} = \frac{225}{288} + \frac{64}{288} = \frac{289}{288} > 1

Punkts

(3; 3)

atrodas elipses iekšienē, jo

\frac{3^{2}}{32} + \frac{3^{2}}{18} = \frac{9}{32} + \frac{9}{18} = \frac{9 \cdot 9}{32 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 16}{18 \cdot 16} = \frac{81}{288} + \frac{144}{288} = \frac{225}{288} < 1

Atradi kļūdu?

2. Punkta novietojums attiecībā pret elipsi