Kā jau zinām, apgalvojumus iedala atsevišķos un vispārīgos. Vispārīgie apgalvojumi kaut ko apgalvo par vairākiem skaitļiem (priekšmetiem, figūrām un tml.); atsevišķi apgalvojumi kaut ko apgalvo par vienu objektu.
Piemērs:
Atsevišķs apgalvojums - \(6\) nedalās ar \(15\).
Vispārīgs apgalvojums - neviens viencipara naturāls skaitlis nedalās ar \(15\).
Vispārīgu apgalvojumu vienmēr var izteikt, lietojot vienu vai vairākus parametrus.
Piemērā doto apgalvojumu var pierakstīt šādā formā: ja \(n\) ir naturāls viencipara skaitlis, tad \(n\) nedalās ar \(15\).
Ievietojot dažādas parametra vērtības, iegūst atsevišķus apgalvojumus.
Katru no atsevišķiem apgalvojumiem varam attēlot ar rūtiņu; tad vispārīgais apgalvojums attēlojas ar "lenti", kas sastāv no \(9\) rūtiņām (zīm): pirmā rūtiņa atbilst apgalvojumam "\(1\) nedalās ar \(15\)", otrā rūtiņa - apgalvojumam "\(2\) nedalās ar \(15\)" utt.
\(n=1\) \(n=2\) \(n=3\) \(n=4\) \(n=5\) \(n=6\) \(n=7\) \(n=8\) \(n=9\)
Šādā veidā var attēlot jebkuru vispārīgu apgalvojumu, atkarībā no parametra vērtību kopas, šī "lente" būs galīga vai bezgalīga.
Pierādīt, ka atsevišķs apgalvojums ir patiess, parasti neskaidrības nerada, dotajā piemērā pārliecināmies, ka \(1\) ar \(15\) nedalās, \(2\) ar \(15\) nedalās, \(3\) nedalās ar \(15\), utt.
Ko nozīmē pierādīt, ka patiess ir vispārīgais apgalvojums?
Svarīgi!
Pierādīt vispārīgu apgalvojumu nozīmē pierādīt visus atsevišķos apgalvojumus, kurus var iegūt, ievietojot parametra vietā pieļaujamās vērtības.
Ja vispārīgā apgalvojuma parametra vērtību kopa ir galīga, tad ir iespējams uzrakstīt visus atsevišķos apgalvojumus un katru no tiem pierādīt. Tādā gadījumā katru pierādīto atsevišķo apgalvojumu uz "lentes" varētu attēlot kā iekrāsotu rūtiņu, ja visas rūtiņas aizkrāsotas - vispārīgais apgalvojums ir pierādīts.
Bet ko darīt, ja vispārīgā apgalvojuma parametra vērtību ir bezgalīgi daudz? Tad atsevišķos apgalvojumus pat nevar pierakstīt, kur nu vēl katru no tiem pierādīt.
Piemērs:
Ja ģeometriska figūra \(s\) ir kvadrāts, tad figūras \(s\) diagonāles ir perpendikulāras.
Ja \(x\) ir naturāls skaitlis, kas beidzas ar \(0\), tad \(x\) dalās ar \(5\).
Katram naturālam \(n\) skaitlis \(n(n+1)\) dalās ar \(2\).
Mēģināsim pierādīt vispārīgu apgalvojumu: katrai naturālai \(n\) vērtībai izpildās nevienādība \(2^n>2n\).
Ja \(n=1\), tad .
Ja \(n=2\), tad .
Ja \(n=3\), tad .
...
Ja \(n=10\), tad .
"Lente" pirmajiem \(10\) atsevišķajiem apgalvojumiem izskatās šādi:
Tā kā divi pirmie atsevišķie apgalvojumi neizpildījās, secinām, ka vispārīgais apgalvojums ir aplams. Bet vai mēs varam apgalvot, ka sākot ar \(n=3\), šis apgalvojums ir patiess?
Nē! Mēs nevaram zināt, kuru rūtiņu atkal nevarēsim aizkrāsot.Svarīgi!
Lai pierādītu, ka vispārīgais apgalvojums nav patiess, pietiek konstatēt kaut vienu aplamu atsevišķo apgalvojumu (ko sauc par pretpiemēru). Taču no tā, ka daži atsevišķie apgalvojumi ir pareizi, nedrīkst secināt, ka ir pareizs vispārīgais apgalvojums.
Piemērs:
Pierādi, ka neviens naturāls skaitlis, kura pierakstā ir tikai vieninieki, nedalās ar \(7\).
"Lentes" sākums ar atsevišķajiem apgalvojumiem izskatās šādi:
Redzam, ka sestā rūtiņa nav aizkrāsota, jo \(111111:7 = 15873\). Secinām, ka vispārīgais apgalvojums nav patiess. Bet mums nebija nekādu cerību šādā veidā pierādīt, ka vispārīgais apgalvojums ir patiess.
Pierādīt vispārīgus apgalvojumus, teorēmas ir sarežģīti. Daudzi jo daudzi domātāji jau tūkstošiem gadu tam ir veltījuši visu savu dzīvi. Un šis darbs nekad nebūs pabeigts. Vienmēr būs vajadzīgi jauni, gudri cilvēki, kas pierāda jaunus apgalvojumus.
Matemātikā ir dažādi pierādīšanas paņēmieni. Vidusskolā ir jāiepazīstas ar trim biežāk lietotajiem - tiešo pierādījumu, pierādījumu no pretējā un pierādījumu, kuru veic, izmantojot matemātiskās indukcijas principu.