Virkni (), kurā katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējo locekli reizinot ar vienu un to pašu skaitli \(q\), sauc par ģeometrisko progresiju.
Ja virkne () ir ģeometriskā progresija, tad jebkurai naturālai \(n\) vērtībai ir pareiza sakarība: .
Skaitli \(q\) sauc par ģeometriskās progresijas kvocientu.
Ja zināms ģeometriskās progresijas () pirmais loceklis un kvocients \(q\), tad iespējams aprēķināt jebkuru progresijas locekli.
utt.
Ģeometriskās progresijas vispārīgo locekli aprēķina, izmantojot formulu:
\(=\),
kur \(n\) - virknes locekļa numurs (kārtas numurs), - virknes pirmais loceklis, \(q\) - kvocients.
Piemērs:
Aprēķini ģeometriskās progresijas pirmos piecus locekļus un uzrakstīt \(n\)-tā locekļa formulu, ja \( = 8\) un \(q = 0,5\).
Risinājums:
\(= 8 \)
\( = \)\(= \)4
\( = \)\(= \)2
\( = \)\(= \)1
\( = \)\(= \)0,5
...
\( = \)
Ģeometriskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summa
Ģeometriskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summu var iegūt, aprēķinot virknes locekļus , , ..., un tos saskaitot. Tomēr šāds summas aprēķināšanas paņēmiens ir izdevīgs tikai tad, ja nepieciešama dažu pirmo locekļus summa. Ja jārēķina vairāku progresijas locekļu summa, lieto ģeometriskās progresijas summas formulu.
, kur \(n\) - virknes locekļu skaits (kārtas numurs),
- virknes pirmais loceklis, \(q\) - kvocients.
Piemērs:
Aprēķini ģeometriskās progresijas pirmo piecu locekļu summu, ja \(= 8\) un \(q = 0,5\).
I variants
Aplūkojot pirmo piemēru, ir redzams:
\( = 8\), \( = \)4, \( = \)2, \( = \)1 un \( = \)0,5.
Saskaitot šos piecus skaitļus, iegūsim summu (pirmajiem \(5\) locekļiem):
\( = \)\( = \)\( + \)\( + \)\( + \)\( + \)\( = \)\( = \)15,5
II variants
Izmantosim summas formulu:
\(=\)\(= \)15,5
Kā redzams, abi risināšanas varianti noved pie viena atrisinājuma.
Atbilde: Pirmo piecu locekļu summa \(= \)15,5.
Ģeometriskās progresijas īpašība
Trīs pēc kārtas sekojošiem ģeometriskās progresijas locekļiem izpildās likums:
, kur .
Risini uzdevumus matemātika I.
Formulas var atrast Matemātika I formulu lapā.