No pamatskolas ir zināmas šādas trijstūra laukuma formulas:
Taisnleņķa trijstūris | , kur un ir katetes. Protams, taisnleņķa trijstūrim ir spēkā arī tās formulas, kuras der jebkuram trijstūrim. |
Vienādmalu (regulārs) trijstūris | , kur ir malas garums. |
Jebkāds trijstūris | , kur un ir trijstūra malas, ir malu un veidotais leņķis, ir augstums, kas vilkts pret malu . |
Izmantojot kosinusu teorēmu, var pierādīt laukuma aprēķināšanas formulu, ko sauc par Hērona formulu.
Ja , un ir trijstūra malas, tad laukums ir , kur ir pusperimetrs: .
Matemātikas eksāmena formulu lapā var atrast gandrīz visas trijstūra laukuma formulas (izņemot taisnleņķa trijstūra laukumu): Formulas
Piemērs:
Aprēķini laukumu trijstūrim, kura malu garumi ir 17 cm, 39 cm, 44 cm.
Risinājums:
Atbilde: trijstūra laukums ir 330.
Svarīgi!
Lai viegli izvilktu sakni no reizinājuma, nevajag visus skaitļus sareizināt, bet tieši pretēji - vajag tos sadalīt reizinātājos.
Atceries:
Hērona formulu var izmantot trijstūra augstumu aprēķināšanā.
Piemērs:
Aprēķini trijstūra īsāko augstumu, ja tā malas ir 15 cm, 13 cm, 4 cm.
Risinājums:
Lieto divas laukuma formulas: un
Izmanto faktu, ka trijstūrī īsākais ir tas augstums, kas vilkts pret garāko malu, tātad cm.
Sastāda vienādojumu un atrisina to:
Atbilde: trijstūra īsākais augstums ir 3,2 cm garš.
Dažreiz Hērona formulu lieto paralelograma laukuma aprēķināšanai - ja dotas tā malas un diagonāle.
Piemērs:
Dots paralelograms ar malu garumiem 17 cm un 39 cm, diagonāles garums ir 44 cm. Aprēķini paralelograma laukumu.
Risinājums:
Diagonāle paralelogramu sadala divos vienādos trijstūros. Izmantosim 1. piemērā iegūto rezultātu:
Atbilde: paralelograma laukums ir 660
Interesanti: sengrieķu matemātiķis un mehāniķis Hērons dzīvojis 1. gadsimtā. Hērona darbiem lietišķajā matemātikā ir enciklopēdiska nozīme: vairākas viņa radītās mehāniskās un automātiskās ierīces ietekmējušas Eiropas zinātnes attīstību līdz pat renesanses laikmetam.
(Hērona formulas pierādījumu var atrast 10. klases mācību grāmatā (1) 118. lpp.)