32. 3. daļas 1. uzd. Pierādījuma uzdevums par virkni

Dota skaitļu virkne 1; 2; 4; 8; …, kuras katrs nākamais loceklis ir divas reizes lielāks nekā iepriekšējais.
a) Pierādi, ka katru divu pēc kārtas ņemtu virknes locekļu summa dalās ar 3.
b) Pierādi, ka katrs virknes loceklis, sākot ar otro, ir par 1 lielāks nekā visu iepriekšējo virknes locekļu summa.

 

 

1. Ja ar $b$ apzīmē jebkuru dotās virknes locekli, tad nākamais virknes loceklis būs 3b2+b2b+b2b. Šo divu blakus esošo virknes locekļu summa ir 3b2b3b+b.

 

2. Šī virkne ir ģeometriskā progresija. Pēc formulas, uzrakstot ģeometriskās progresijas n-tā locekļa aprēķināšanas izteiksmi, iegūst

 

3. Izteiksme, kas izsaka šīs progresijas n-1 locekļu summu, ir

 

4. Izteiksme, kas izsaka starpību starp n-to locekli un visu iepriekšējo virknes locekļu summu, ir $2^{n-1}-(2^{n-1}-1)$ un, vienkāršojot šo izteiksmi, iegūst , kas arī bija jāpierāda.