Video mācību materiāli
"MATEMĀTIKA II"
Ar matemātiskās indukcijas metodi pierādi, ka 112+123+...+1n(n+1)=nn+1, kur n.
 
Risinājums
Apzīmēsim doto apgalvojumu ar \(A(n)\).
 
1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai izpildās \(A(1)\).
Ja \(n=1\), tad 11i=1i+1. Redzams, ka vienādība ir patiesa 1i=1i.
 
 
2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,
112+123+...+1k(k+i)=kk+1.
 
 
3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):
112+123+...+1k(k+1)+1(k+1)(k+2)=k+ik+i
 
Aplūkojam vienādības kreiso pusi.
Izmantojot induktīvo pieņēmumu, iegūst: 
kk+i+1(k+1)(k+i)
 
Vienādojot saucējus, iegūst:
k2+ik+1k+ik+2
 
Pārveidojot skaitītāju, iegūst:
k+i2k+ik+2
 
Saīsinot daļu, iegūst:
k+ik+i
Redzam, ka iegūtā izteiksme ir vienāda ar pierādāmās vienādības \(A(k+1)\) labo pusi.
 
Secinājums
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
112+123+...+1n(n+1)=nn+1 jebkuram n.
 
Atsauce:
https://www.visc.gov.lv/lv/media/21060/download?attachment
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja
 
Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!