4. daļas 25. uzd. Matemātiskā indukcija — uzdevums. Eksāmens un diagnosticējošais darbs matemātikā, Matemātika II (Augstākais līmenis).

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Ar matemātiskās indukcijas metodi pierādi, ka

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}

, kur

n \in ℕ

Risinājums

Apzīmēsim doto apgalvojumu ar \(A(n)\).

1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai izpildās \(A(1)\).

Ja \(n=1\), tad

\frac{1}{1 \cdot i} = \frac{1}{1 + i}

. Redzams, ka vienādība ir patiesa

\frac{1}{i} = \frac{1}{i}

2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{k (k + 1)} = \frac{k}{k + i}

3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{k (k + 1)} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} =

\frac{k + i}{k + i}

Aplūkojam vienādības kreiso pusi.

Izmantojot induktīvo pieņēmumu, iegūst:

\frac{k}{k + i} + \frac{1}{(k + i) (k + 2)} =

Vienādojot saucējus, iegūst:

\frac{k^{2} + i k + 1}{(k + i) (k + 2)}

Pārveidojot skaitītāju, iegūst:

\frac{{(k + i)}^{2}}{(k + 1) (k + i)}

Saīsinot daļu, iegūst:

\frac{k + i}{k + i}

Redzam, ka iegūtā izteiksme ir vienāda ar pierādāmās vienādības \(A(k+1)\) labo pusi.

Secinājums

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}

jebkuram

n \in ℕ

Atsauce:

https://www.visc.gov.lv. Centralizētais eksāmens matemātikā (augstākais mācību satura apguves līmenis), 2023

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Atradi kļūdu?

Lai iesniegtu atbildi un redzētu rezultātus, Tev nepieciešams autorizēties. Lūdzu, ielogojies savā profilā vai reģistrējies portālā!

Ieiet portālā vai Reģistrēties

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

26. 4. daļas 25. uzd. Matemātiskā indukcija