Precizitātes noteikšana tiešajos mērījumos

Tiešie mērījumi - ja mērskaitli nolasa no mērinstrumenta skalas.

Mērījumu precizitātes noteikšanai ir vairāki varianti:

a) Ja, mērot fizikālu lielumu vairākas reizes pēc kārtas, iegūst vienu un to pašu mērskaitli, tad iegūto rezultātu pieraksta ar absolūto kļūdu:

m = (27 \pm 2) g

b) Ja vairākkārtējos viena un tā paša lieluma mērījumos iegūti nedaudz atšķirīgi skaitļi, tad par mērījuma rezultātu pieņem mērskaitļu vidējo aritmētisko vērtību:

x_{vid .} = \frac{x_{1} + x_{2} + ....... + x_{n}}{n}

, kur

x_{i}

- mērījumos iegūtie mērskaitļi ($i$ - katrs kārtējais mērījums),

$n$ - mērījumu skaits,

x_{vid .}

- mērskaitļu vidējā aritmētiskā vērtība.

Mērot lodītes kustības laiku pa slīpu renīti (pie nemainīga slīpuma un garuma) ar rokas hronometru, ieguva šādus rezultātus:

1,92 s, 2,04 s, 2,54 s, 2,02 s, 2,12 s, 1,98 s

. Tika izdarīti seši mērījumi. Mērījumu rezultātu lielākā atšķirība bija $0,1$, izņemot trešo mērījumu. Jāsecina, ka trešais mērījums kādu iemeslu dēļ ir bijis ļoti kļūdains un neraksturo īsto lodītes kustības laiku. Šo mērījumu no datu saraksta svītrojam vai vienkārši neņemam vērā!

Izdarām aprēķinus:

t_{vid.} = \frac{t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5}}{n} = \frac{1,92 + 2,04 + 2,02 + 2,12 + 1,98}{5} = 2,02 s

Lai noteiktu absolūtās kļūdas lielumu, izmantojam gadījuma novirzes

Δ x_{i}

, ko aprēķinām kā starpību starp vidējo vērtību un katra mērījuma rezultātu:

Δ x_{i} = x_{vid} - x_{i}

Datus apkoposim tabulā:

Nr. p.k.	$t$, $s$	$t_{vid.}$ , $s$	$Δ t$ , $s$
1.	$1,92$	$2,016$	$0,096$
2.	$2,04$		$-0,024$
3.	$2,02$		$-0,004$
4.	$2,12$		$-0,104$
5.	$1,98$		$0,036$

Tabulā redzam, ka vislielākā gadījuma novirze no vidējās vērtības ir $0,104\ \mathrm{s}$, ko tad arī pieņemam par absolūtās kļūdas vērtību, noapaļojot līdz $2$ cipariem aiz komata. Mērījuma rezultāts šajā gadījumā ir:

t = (2,02 \pm 0,10) s

un relatīvā kļūda:

R = \frac{0,10}{2,02} = 0,0495 \approx 5 %

Mērījuma relatīvā kļūda ir $5\%$ - mērījumu veikšanas precizitāte ir visai zema, kas arī atbilst darbam ar rokas hronometru.

c) Vidējās kvadrātiskās novirzes izmantošana:

Šo metodi izmanto, ja mērījuma rezultāts jānodrošina ar nepieciešamo ticamības varbūtību: $90\%$, $95\%$ vai $99\%$.

Šajā gadījumā mērījuma absolūto kļūdu aprēķina pēc formulas:

Δ x = t \cdot \sqrt{\frac{\sum (Δ x_{i}^{2})}{n (n - 1)}}

, kur

$n$ - mērījumu skaits,

\sum Δ x_{i}^{2}

- gadījuma noviržu kvadrātu summa,

Δ x

- mērījuma absolūtā kļūda,

$t$ - Stjūdenta koeficients, kura vērtība ir atkarīga no mērījumu skaita un nepieciešamās ticamības varbūtības (Skat. tabulu - līdz $11$ mērījumiem):

Mērījumu skaits $n$	$90\%$	$95\%$	$99\%$
$3$	$2,920$	$4,303$	$9,925$
$4$	$2,353$	$3,182$	$5,841$
$5$	$2,132$	$2,776$	$4,604$
$6$	$2,015$	$2,571$	$4,032$
$7$	$1,943$	$2,447$	$3,707$
$8$	$1,895$	$2,365$	$3,499$
$9$	$1,860$	$2,306$	$3,355$
$10$	$1,833$	$2,262$	$3,25$
$11$	$1,812$	$2,228$	$3,169$

Mūsu piemērā - papildinām tabulu:

Nr. p.k.	$t$, $s$	$t_{vid.}$ , $s$	${Δ t}_{i}$ , $s$	$Δ t_{i}^{2}$ , $\mathrm{s^2}$
1.	$1,92$	$2,016$	$0,096$	$0,009216$
2.	$2,04$		$-0,024$	$0,000576$
3.	$2,02$		$-0,004$	$0,0000162$
4.	$2,12$		$-0,104$	$0,010816$
5.	$1,98$		$0,036$	$0,001296$
	$\sum t_{i} = 10,08$		$\sum Δ t_{i} = 0$	$\sum {Δ t}_{i}^{2} = 0,02192$

Pieņemsim, ka rezultāts vajadzīgs ar $95$% ticamību. No Stjūdenta koeficientu tabulas atrodam koeficienta vērtību ($95$%, $5$ mērījumi): $t=2,776$.

Veicam absolūtās kļūdas aprēķinu pēc formulas:

Δ t = t \cdot \sqrt{\frac{\sum Δ t_{i}^{2}}{n (n - 1)}} = 2,776 \cdot \sqrt{\frac{0,02192}{5 (5 - 1)}} = 0,09 s

Mērījuma rezultāts, noapaļojot līdz $2$ cipariem aiz komata:

t = (2,02 \pm 0,09) s

Mērījuma relatīvā kļūda:

R = \frac{Δ t}{t_{vid.}} = \frac{0,09}{2,02} = 0,046 \approx 5 %

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Nr. p.k.	\(t\), $s$	$t_{vid.}$ , $s$	$Δ t$ , $s$
1.	\(1,92\)	\(2,016\)	\(0,096\)
2.	\(2,04\)		\(-0,024\)
3.	\(2,02\)		\(-0,004\)
4.	\(2,12\)		\(-0,104\)
5.	\(1,98\)		\(0,036\)

Mērījumu skaits \(n\)	\(90\%\)	\(95\%\)	\(99\%\)
\(3\)	\(2,920\)	\(4,303\)	\(9,925\)
\(4\)	\(2,353\)	\(3,182\)	\(5,841\)
\(5\)	\(2,132\)	\(2,776\)	\(4,604\)
\(6\)	\(2,015\)	\(2,571\)	\(4,032\)
\(7\)	\(1,943\)	\(2,447\)	\(3,707\)
\(8\)	\(1,895\)	\(2,365\)	\(3,499\)
\(9\)	\(1,860\)	\(2,306\)	\(3,355\)
\(10\)	\(1,833\)	\(2,262\)	\(3,25\)
\(11\)	\(1,812\)	\(2,228\)	\(3,169\)

Nr. p.k.	\(t\), $s$	$t_{vid.}$ , $s$	${Δ t}_{i}$ , $s$	$Δ t_{i}^{2}$ , \(\mathrm{s^2}\)
1.	\(1,92\)	\(2,016\)	\(0,096\)	\(0,009216\)
2.	\(2,04\)		\(-0,024\)	\(0,000576\)
3.	\(2,02\)		\(-0,004\)	\(0,0000162\)
4.	\(2,12\)		\(-0,104\)	\(0,010816\)
5.	\(1,98\)		\(0,036\)	\(0,001296\)
	$\sum t_{i} = 10,08$		$\sum Δ t_{i} = 0$	$\sum {Δ t}_{i}^{2} = 0,02192$

2. Precizitātes noteikšana tiešajos mērījumos

Teorija