Perpendikulāras taisnes vienādojuma iegūšana — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Atkārto taisnes vienādojuma veidus!

Nosakot dotajai taisnei perpendikulāras taisnes vienādojumu, parasti ir vairāki risinājuma varianti.

Aplūkosim piemēru, kuru atrisināsim ar trim metodēm.

Piemērs:

Koordinātu plaknē uzzīmētas divas taisnes. Pirmā taisne iet caur punktiem

M (- 4; 1)

K (2; - 5)

. Otrā taisne novilkta perpendikulāri pirmajai taisnei. Abas taisnes krustojas uz $Oy$ ass. Nosaki abu taišņu vispārīgo vienādojumu!

Vispārīgais vienādojums:

Ax + By + C = 0

Risinājums

1) Ja taisne iet caur punktiem

M (- 4; 1)

K (2; - 5)

, var uzrakstīt caur diviem punktiem vilktas taisnes vienādojumu:

\begin{array}{l} \frac{x - x_{M}}{x_{K} - x_{M}} = \frac{y - y_{M}}{y_{K} - y_{M}} \\ \frac{x + 4}{2 + 4} = \frac{y - 1}{- 5 - 1} \\ \frac{x + 4}{6} = \frac{y - 1}{- 6} \end{array}

Esam ieguvuši taisnes $(MK)$ kanonisko vienādojumu.

Izmantojot proporciju, iegūst pirmās taisnes $(MK)$ vispārīgo vienādojumu:

\begin{array}{l} \frac{x + 4}{6} = \frac{y - 1}{- 6} \\ 6 (y - 1) = - 6 (x + 4) \\ 6 y - 6 \cdot 1 = - 6 x - 6 \cdot 4 \\ 6 y - 6 \cdot 1 + 6 x + 6 \cdot 4 = 0 \\ 6 x + 6 y + 6 \cdot 4 - 6 \cdot 1 = 0 \\ 6 x + 6 y + 18 = 0 | : 6 \\ x + y + 3 = 0 \end{array}

2) Atrodam šīs taisnes un $Oy$ ass krustpunktu. Tādā gadījumā $x=0$.

\begin{array}{l} 6 \cdot 0 + 6 y + 18 = 0 \\ 6 y = - 18 \\ y = -3 \end{array}

Tātad taisne $(MK)$ krusto $Oy$ asi punktā $Y(0;-3).$

3) Nosakām taisnei $(MK)$ perpendikulāras taisnes vienādojumu.

To var darīt dažādos veidos

Pirmais risinājuma veids

No taisnes $(MK)$ vispārīgā vienādojuma izsaka $y,$ tādējādi iegūstot vienādojumu ar virziena koeficientu

y = k_{1} x + b_{1}

nosaka virziena koeficientu:

\begin{array}{l} x + y + 3 = 0 \\ y = - x - 3 \\ k_{1} = - 1 \end{array}

Perpendikulārās taisnes virziena koeficients

k_{2} = - \frac{1}{k_{1}} = - \frac{1}{- 1} = 1

Uzraksta perpendikulārās taisnes vienādojumu ar virziena koeficientu:

y = 1 x + b_{2}

Pēc dotā

b_{2} = -3

, jo krustpunkts ar $Oy$ asi abām taisnēm sakrīt.

Iegūstam otrās taisnes vienādojumu:

y = 1 x - 3

Pārveido to par vispārīgo vienādojumu:

x - y - 3 = 0

Tātad dotās taisnes vispārīgais vienādojums ir

x + y + 3 = 0

, perpendikulārās taisnes vispārīgais vienādojums ir

x - y - 3 = 0

Vēl divi risinājuma veidi, izmantojot vektorus

Zinām, ka otrā taisne iet caur punktu $Y(0;-3)$ un tā iet caur brīvi izvēlētu punktu $W(x;y).$

Atrodam šīs taisnes virziena vektoru:

\begin{array}{l} \vec{YW} = (x - 0; y - (-3)) \\ \vec{YW} = (x; y + 3) \end{array}

Tālāk var rīkoties dažādi, jo

pēc kanoniskā vienādojuma var noteikt taisnes $(MK)$ virziena vektoru $\vec{M K} = (6; - 6)$ , ko norāda kanoniskā vienādojuma saucēji;
no vispārīgā vienādojuma nosaka normālvektoru $\vec{n} = (6; 6)$ , ko norāda koeficienti pie $x$ un $y$.

Lai abas taisnes būtu perpendikulāras, var izvēlēties, kuru nosacījumu izmantot

$(MK)$ normālvektoram jābūt kolineāram (paralēlam vai sakrītošam) ar otras taisnes virziena vektoru (tātad vektoru koordinātas ir proporcionālas);
$(MK)$ virziena vektoram jābūt perpendikulāram ar otras taisnes virziena vektoru (tātad vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli).

Otrais risinājuma veids

Izmantosim taisnes $(MK)$ normālvektora un otras taisnes virziena vektora kolinearitāti.

Taisnes $(MK)$ normālvektors ir