Atkārtojums. Vektora koordinātas plaknē un telpā — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Vektori plaknē

Ja vektoru

\vec{AB}

novieto koordinātu plaknē tā, ka tā sākumpunkts atrodas koordinātu sākumpunktā, var teikt, ka šī vektora koordinātas ir

\vec{AB} = (x; y)

Zīmējumā dotā vektora koordinātas ir

\vec{AB} = (5; 3)

Redzam, ka šī vektora koordinātas sakrīt ar tā galapunkta $B$ koordinātām.

Ja vektors atrodas koordinātu plaknē, bet tā sākumpunkts neatrodas punktā $(0;0)$, tad vektora koordinātas iegūst, izmantojot vektora sākumpunkta un galapunkta koordinātas.

Ja vektora sākumpunkts ir

A (x_{1}; y_{1})

un galapunkts

B (x_{2}; y_{2})

, tad vektora

\vec{AB}

koordinātas ir

\vec{AB} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})

. (Ievēro, ka pirms punkta koordinātām neliek vienlīdzības zīmi, bet pirms vektora koordinātām liek).

Piemērs:

Doti punkti $A(-2; 2)$ un $B(3; 5)$. Nosaki vektora $\vec{AB}$ koordinātas!

Risinājums:

\vec{AB}

$ = (3-(-2) ; 5-2) = (5; 3)$

Esam ieguvuši vektoru ar tādām pašām koordinātām, kā pirmajā zīmējumā (skat. teorijas sākumu):

Var redzēt, ka pārnesot doto vektoru ar sākumpunktu $(0;0)$, tas patiešām ir tas pats vektors (tas pats virziens un garums).

Nosakot vektora koordinātas, mēs it kā "noliekam" vektoru ar sākumpunktu $(0;0).$

Vektori telpā

Telpā, tāpat kā plaknē, par vektoru sauc orientētu nogriezni.

Telpā taisnleņķa koordinātu sistēmu veido trīs pa pāriem perpendikulāras asis. Skat. zīm. To sauc arī par Dekarta taisnleņķa koordinātu sistēmu.

Taisnleņķa koordinātu sistēmā telpā taisnes $Ox$, $Oy$, $Oz$ sauc par koordinātu asīm.

Taisni $Ox$ sauc par abscisu asi

Taisni $Oy$ sauc par ordinātu asi

Taisni $Oz$ sauc par aplikātu asi.

Koordinātu plaknes dala telpu astoņos apgabalos - oktantos.

Kā atlikt telpā punktu ar koordinātām $(2;3;5)$ ?

1) Izvēlas vienas vienības garumu, uz $Ox$ ass vienību atliek uz pusi īsāku, jo to mēs redzam slīpi no sāna;

2) Uz abscisu ass atliek $2$ vienības;

3) No iegūtā punkta uz $Ox$ ass atliek $2$ vienības $Oy$ ass virzienā;

4) No iegūtā punkta plaknē $xOy$, atliek $5$ vienības $Oz$ ass virzienā (uz augšu).

Ja būtu nepieciešams atlikt vektoru

\vec{a} = (2; 3; 5)

, tad vajadzētu vēl savienot koordinātu sākumpunktu $(0;0;0)$ ar iegūto punktu, kura koordinātas ir $(2;3;5). $ Vektora virziens ir uz punktu $(2;3;5),$ jo tas nosaka vektora galapunktu.

Ja vektora sākumpunkts telpā ir