Daļveida funkcija vispārīgā veidā. Asimptotas — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Vispārīgā gadījumā daļveida funkciju var pierakstīt

y = \frac{ax + b}{cx + d}

, kur

x \neq - \frac{d}{c}

Šādas funkcijas grafiku konstruē, izmantojot apgrieztās proporcionalitātes grafiku un funkcijas grafika lineārās transformācijas.

Tam nolūkam vispirms ir jāatdala šīs funkcijas veselā daļa, t.i., funkcija jāpārveido formā:

y = k + \frac{n}{x - m}

Pēc šī pārveidojuma izmanto grafika transformācijas:

$y = f (x) + k$
$y = f (x - m)$

Konstruējot daļveida funkcijas grafiku, izdevīgi izmantot asimptotas - iedomātas taisnes, kurām grafiks tuvojas, bet nepieskaras un nekrusto.

Asimptota ir taisne, kurai piemīt īpašība, ka kādas līknes punkta attālums līdz šai taisnei tiecas uz nulli, ja punkts pārvietojas pa līkni uz bezgalību.

Par funkcijas grafika horizontālo asimptotu sauc $Ox$ asij paralēlu taisni, kuras vienādojums ir $y=b$, ja

\lim_{x \to \infty} f (x) = b

Par funkcijas grafika vertikālo asimptotu sauc $Oy$ asij paralēlu taisni, kuras vienādojums ir $x=a$, ja

\lim_{x \to a} f (x) = \infty

Vertikālā asimtota viegli nosakāma pēc definīcijas apgabala: ja no definīcijas apgabala ir jāizslēdz $x=a,$ tad taisne $x=a$ ir vertikālā asimptota.

Piemērs:

Atdali veselo, nosaki asimptotas un konstruē funkcijas grafiku!

y = \frac{3 x - 5}{x - 2}

Veselo atdala, ievērojot, ka skaitlis $3$ jānes pirms iekavām:

\begin{array}{l} y = \frac{3 x - 6 + 6 - 5}{x - 2} \\ y = \frac{3 (x - 2) + 1}{x - 2} \\ y = \frac{3 (x - 2)}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} \\ y = 3 + \frac{1}{x - 2} \end{array}

Pamatfunkcija ir

y = \frac{1}{x}

. To konstruē, izmantojot vērtību tabulu.

Lai konstruētu funkcijas

y = 3 + \frac{1}{x - 2}

grafiku, jāveic šādi grafika pārveidojumi:

1) pārbīde par $3$ vienībām uz augšu. Ievēro, ka taisne $y=3$ ir funkcijas horizontālā asimptota, jo funkcijas vērtība nekad nevar būt vienāda ar $3$, jo otrais saskaitāmais vienmēr ir atšķirīgs no nulles: