Matemātika II - jauna mācību tēma
"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"
Ja no vienādības y=fx var izteikt x kā funkciju no y, t.i., x=gy, kas definēta visām \(y\)  vērtībām funkcijas \(y=f(x)\) vērtību apgabalā, tad funkciju \(x=g(y)\) sauc par funkcijas \(y=f(x)\) apvērsto jeb inverso funkciju.
Tā kā argumentu parasti apzīmē ar burtu x, bet funkciju - ar y, tad maina vietām burtus x un y.
 
Lai atrastu inverso funkciju, rīkojas šādi:
1) no vienādojuma y=fx izsaka x;
2) iegūtajā izteiksmē pārdēvē x par y un y par x.
Pēc šiem soļiem iegūst jaunu funkciju y=gx. Dotā funkcija fx un iegūtā funkcija gx ir savstarpēji inversas funkcijas.
 
Piemērs:
Dota funkcija fx=x1x3. Nosaki inverso funkciju \(g(x)!\)
Risinājums
Funkcija y=x1x3 nav definēta, ja \(x=3\) (dalīšana ar nulli nav iespējama).
Ja x3, drīkst abas puses reizināt ar \(x-3\):
yx3=x1yx3y=x1
 
Tā kā ir jāizsaka \(x\), tad sanesam locekļus ar \(x\) vienā pusē:
yxx=3y1xy1=3y1
 
Ja y10, tad vienādību drīkst dalīt ar \(y-1\):
 
x=3y1y1
Pārmaina mainīgo nosaukumus un iegūst inverso funkciju y=3x1x1, iedodot funkcijai nosaukumu, iegūst gx=3x1x1. Ja neiedosim funkcijām nosaukumus, būs grūti viennozīmīgi pierakstīt abu funkciju definīcijas un vērtību apgabalus.
Inversās funkcijas īpašība: tiešās funkcijas un inversās funkcijas definīcijas apgabals Df un vērtību apgabals Ef mainās vietām. 
Sākotnējās funkcijas fx=x1x3 definīcijas apgabals Df=;33;+, tātad 
Inversās funkcijas vērtību apgabals Eg=;33;+.
 
Sākotnējās funkcijas vērtību apgabals ir vienāds ar inversās funkcijas definīcijas apgabalu.
Tā kā definīcijas apgabalu noteikt ir vienkāršāk, sāksim ar inverso funkciju:
Dg=;11;+, tātad Ef=;11;+.
 
Aplūkosim dotās un inversās funkcijas grafikus.
1. attēls Dotā funkcijafx=x1x3
YCUZD_220628_3945_dotā_daļveida.svg
 
2. attēls Inversā funkcija y=3x1x1
YCUZD_220628_3945_daļveida_inversā.svg
 
Ievēro, ka dotajai funkcijai un inversai funkcijai ir atšķirīgas asimptotas.
 
Atceries, ka tiešās un inversās funkcijas grafiks ir simetrisks pret taisni y=x.
 
3. attēls Dotā un inversā funkcija kopā
YCUZD_220628_3945_dotā_un_inversā.svg
 
Pamēģini pats konstruēt šos grafikus ar programmu Desmos.
 
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa