Trijstūra laukums, ja dotas koordinātas. Analītiskā ģeometrija — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Eksāmena parauguzdevums

Piemērs:

Aprēķini trijstūra \(ABC\) laukumu, ja tā virsotnes ir punkti

A (0; 2; 6)

;

B (4; 0; 0)

C (8; - 2; 1)

Skicējam trijstūri.

Nogriežņa garumu, jeb attālumu \(d\) starp diviem punktiem, aprēķina

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}

Vai arī malas uzraksta kā vektorus un aprēķina šo vektoru garumu.

1) Aprēķina malas \(AB\) garumu.

Galapunkti

A (0; 2; 6)

B (4; 0; 0)

\begin{array}{l} |AB| = \sqrt{{(4 - 0)}^{2} + {(0 - 2)}^{2} + {(0 - 6)}^{2}} \\ |AB| = \sqrt{4^{2} + 2^{2} + 6^{2}} \\ |AB| = \sqrt{56} \\ |AB| = 2 \sqrt{14} \end{array}

2) Aprēķina malas \(AC\) garumu:

Galapunkti

A (0; 2; 6)

C (8; - 2; 1)

\begin{array}{l} |AC| = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2} + {(1 - 6)}^{2}} \\ |AC| = \sqrt{64 + 16 + 25} \\ |AC| = \sqrt{105} \end{array}

3) Aprēķina malas \(BC\) garumu

Galapunkti

B (4; 0; 0)

C (8; - 2; 1)

\begin{array}{l} |BC| = \sqrt{{(8 - 4)}^{2} + {(- 2 - 0)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} \\ |BC| = \sqrt{16 + 4 + 1} \\ |BC| = \sqrt{21} \end{array}

Parasti, ja zināmas visas trijstūra malas, lieto Hērona laukuma formulu, taču šajā gadījumā laukuma izteiksme būtu ļoti sarežģīti pierakstāms iracionāls skaitlis.

Aplūkosim kādu citu laukuma aprēķināšanas veidu:

1) pēc kosinusu teorēmas noteiksim leņķi starp divām malām;

2) izmantojot trigonometriju, no kosinusa vērtības atradīsim sinusa vērtību;

3) lietosim laukuma formulu ar sinusu.

Pēc kosinusu teorēmas

\begin{array}{l} {BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2} - 2 AB \cdot AC \cdot \cos A \\ {\sqrt{21}}^{2} = {\sqrt{56}}^{2} + {\sqrt{105}}^{2} - 2 \cdot 2 \sqrt{14} \cdot \sqrt{105} \cdot \cos A \\ 21 = 56 + 105 - 4 \sqrt{14} \cdot \sqrt{105} \cdot \cos A \\ 4 \sqrt{14} \cdot \sqrt{105} \cdot \cos A = 140 \\ \cos A = \frac{140}{4 \sqrt{14} \cdot \sqrt{105}} \\ \cos A = \frac{140}{4 \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{15}} \\ \cos A = \frac{140}{4 \cdot 7 \sqrt{30}} \\ \cos A = {\frac{5}{\sqrt{30}}}^{(\cdot \sqrt{30}} \\ \cos A = \frac{5 \cdot \sqrt{30}}{30} \\ \cos A = \frac{\sqrt{30}}{6} \end{array}

Nosakām leņķa \(A\) sinusu.

Lieto trigonometrijas pamatidentitāti:

\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1

\begin{array}{l} \sin^{2} A = 1 - \cos^{2} A = \\ \sin^{2} A = 1 - {(\frac{\sqrt{30}}{6})}^{2} = \frac{30}{36} = \frac{1}{6} \\ \sin A = \pm \sqrt{\frac{1}{6}} \\ \sin A \in (0 °; 180 °) \\ \sin A = \sqrt{\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \end{array}

Aprēķina trijstūra \(ABC\) laukumu:

\begin{array}{l} S_{ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2} \\ S_{ABC} = \frac{2 \sqrt{14} \cdot \sqrt{105} \cdot \frac{\sqrt{6}}{6}}{2} \\ S_{ABC} = \frac{2 \sqrt{7} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{6}}{2 \cdot 6} \\ S_{ABC} = \frac{\underline{\sqrt{7}} \cdot \sqrt{2} \cdot \underline{\sqrt{7}} \cdot \underline{\underline{\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \underline{\underline{\cdot \sqrt{3}}}}{6} \\ S_{ABC} = \frac{7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}}{6} = 7 \sqrt{5} \end{array}

Atbilde: Trijstūra laukums ir

7 \sqrt{5}

VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā

2 punkti	Aprēķina trijstūra malu garumus
3 punkti	Aprēķina laukumu
ir/nav	Korekts matemātiskais pieraksts

Šī uzdevuma elementus vingrinies šeit.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

VISC prezentācija (Aivars Ančupāns) 2022. nov.

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

7. Trijstūra laukums, ja dotas koordinātas. Analītiskā ģeometrija

Teorija