7. Trijstūra laukums, ja dotas koordinātas. Analītiskā ģeometrija

 

1) Aprēķina malas \(AB\) garumu.

Galapunkti $A\left(0;2;6\right)$ un  $B\left(4;0;0\right)$

 

 

2) Aprēķina malas \(AC\) garumu:

Galapunkti $A\left(0;2;6\right)$ un  $C(8;-2;1)$

 

$\begin{array}{l}\left|\mathit{AC}\right|=\sqrt{{\left(8-0\right)}^2+{\left(-2-2\right)}^2+{\left(1-6\right)}^2}\\ \left|\mathit{AC}\right|=\sqrt{64+16+25}\\ \left|\mathit{AC}\right|=\sqrt{105}\end{array}$ 

 

3) Aprēķina malas \(BC\) garumu

Galapunkti $B\left(4;0;0\right)$ un $C(8;-2;1)$

 

 

Parasti, ja zināmas visas trijstūra malas, lieto Hērona laukuma formulu, taču šajā gadījumā laukuma izteiksme būtu ļoti sarežģīti pierakstāms iracionāls skaitlis.

 

Aplūkosim kādu citu laukuma aprēķināšanas veidu:

1) pēc kosinusu teorēmas noteiksim leņķi starp divām malām;

2) izmantojot trigonometriju, no kosinusa vērtības atradīsim sinusa vērtību;

3) lietosim laukuma formulu ar sinusu.

 

Pēc kosinusu teorēmas

$\begin{array}{l}{\mathit{BC}}^2={\mathit{AB}}^2+{\mathit{AC}}^2-2\mathit{AB}\cdot \mathit{AC}\cdot \cos A\\ {\sqrt{21}}^2={\sqrt{56}}^2+{\sqrt{105}}^2-2\cdot 2\sqrt{14}\cdot \sqrt{105}\cdot \cos A\\ 21=56+105-4\sqrt{14}\cdot \sqrt{105}\cdot \cos A\\ \\ 4\sqrt{14}\cdot \sqrt{105}\cdot \cos A=140\\ \cos A=\frac{140}{4\sqrt{14}\cdot \sqrt{105}}\\ \cos A=\frac{140}{4\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{15}}\\ \cos A=\frac{140}{4\cdot 7\sqrt{30}}\\ \cos A={\frac{5}{\sqrt{30}}}^{(\cdot \sqrt{30}}\\ \cos A=\frac{5\cdot \sqrt{30}}{30}\\ \cos A=\frac{\sqrt{30}}{6}\end{array}$ 

 

Nosakām leņķa \(A\) sinusu.

Lieto trigonometrijas pamatidentitāti: ${\sin }^2\mathrm{\alpha }+{\cos }^2\mathrm{\alpha }=1$

 

 

Aprēķina trijstūra \(ABC\) laukumu:

 

 

Atbilde: Trijstūra laukums ir $7\sqrt{5}$

 

VISC piedāvātie vērtēšanas kritēriji eksāmenā 

 

2 punkti	Aprēķina trijstūra malu garumus
3 punkti	Aprēķina laukumu
ir/nav	Korekts matemātiskais pieraksts