ONLINE VIDEO KURSS
"MATEMĀTIKA 10. KLASEI"
Aplūkosim piemēru, kurā nepārveido atsevišķi vienādības kreiso pusi un labo pusi, bet gan visu izteiksmi kopumā.
Piemērs:
Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) izpildās apgalvojums 
12+22+32...+n2=nn+12n+16
Apzīmē doto apgalvojumu ar \(A(n)\).
 
1) Indukcijas bāze. Pārbauda, vai izpildās \(A(1)\)
Ja \(n=1\), tad 12=1236. Redzams, ka vienādība ir patiesa 1=1.
 
2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,
12+22+32...+k2=kk+12k+16.
 
3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):
Jāpierāda, ka 12+22+32...+k2+k+12=k+1k+22k+36 
Izmanto induktīvo pieņēmumu, ka 12+22+32...+k2=kk+12k+16
 
12+22+32...+k2+k+12=?k+1k+22k+36kk+12k+16+k+12=?k+1k+22k+36
 
Abas vienādības puses pareizina ar skaitli \(6:\)
kk+12k+1+6k+12=?k+1k+22k+3kk+1¯2k+1+6(k+1)¯(k+1)=?k+1¯k+22k+3
 
 
Redzam, ka pirms iekavām var iznest kopīgu reizinātāju \((k+1).\)
k+1k2k+1+6(k+1)=?k+1k+22k+3
 
Tā kā \(k+1\) ir pozitīvs skaitlis jebkuram naturālam \(k\), tad ar to drīkst izdalīt abas vienādības puses:
k2k+1+6(k+1)=?k+22k+3
 
Atveram iekavas:
2k2+k+6k+6=?2k2+3k+4k+62k2+7k+6=2k2+7k+6
ko arī vajadzēja pierādīt.
 
Secinājums
Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.
Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.
  
  
Piezīme.
Ja neiznestu pirms iekavām izteiksmi \(k+1\), vienādību varētu pierādīt, tikai būtu izteiksmes ar mainīgā trešo pakāpi. 
Svarīgi!
Ieteikums: ja 3) solī izteiksmes labajā pusē redzi vismaz 3 iekavas, tad never vaļā iekavas, bet vispirms meklē vismaz vienu kopīgu reizinātāju.
Pamēģini pastāvīgi pierādīt, ka 
a) 12+34+...+2n12n=nn+14n13 izpildās jebkuram naturālam \(n\).
 
b) 12+23+...+nn+1=nn+1n+23 izpildās jebkuram naturālam \(n.\)
Padoms - b) piemērā abām vienādības pusēm ir divi kopīgi reizinātāji (divas iekavas).
  
Atsauce:
Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja