10. Matemātiskā indukcija. Bezgalīga summa ar daļām I

Nākošā piemērā aplūkosim, kā atšķiras pierādījums, ja pārveido atsevišķi vienādības labo pusi un kreiso pusi vai vienlaicīgi pārveido abas vienādības puses.

Apzīmēsim doto apgalvojumu ar \(A(n).\)

 

1) Indukcijas bāze. Pārbaudām, vai izpildās \(A(1)\).

Ja \(n=1\), tad $\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{1+1}$. Redzams, ka vienādība ir patiesa $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.

 

2) Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka fiksētam naturālam skaitlim \(k\) apgalvojums \(A(k)\) ir patiess, t.i.,

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$.

 

3) Induktīvā pāreja. Izmantojot induktīvo pieņēmumu, pierādīsim atsevišķo apgalvojumu \(A(k+1)\):

 

$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)((k+1)+1)}=\frac{k+1}{\left(k+1\right)+1}$ jeb, vienkāršojot,

Aplūkojam vienādības kreiso pusi:

 

 

Izmantojam induktīvo pieņēmumu, ka $\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...+\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}$

 

ko arī vajadzēja pierādīt.

 

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Tāpēc pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums \(A(n)\) ir pierādīts.

 

UZMANĪBU!  

  

 

Pēc induktīvā pieņēmuma

  

  

 

a) Pierādi, ka $\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n}{2\left(n+2\right)}$ izpildās jebkuram naturālam \(n\).

 

b) Pierādi, ka $\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+...+\frac{1}{\left(3n-2\right)\left(3n+1\right)}=\frac{n}{3n+1}$ izpildās jebkuram naturālam \(n\).