Matemātiskā indukcija. Bezgalīgas summas formula — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Matemātika II - jauna mācību tēma

"Pakāpes funkcija un logaritmiskā funkcija"

Dots vispārīgs apgalvojums $1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2$, kas izpildās jebkuram naturālam skaitlim $n$.

Redzam, ka ir dota bezgalīga summa. Pārbaudīsim dažus pirmos atsevišķos apgalvojumus.

$n$	Summa
$1$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 1 - 1 = 1 \\ 1 = 1^{2} \end{array}$
$2$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 2 - 1 = 3 \\ 1 + 3 = 2^{2} \end{array}$
$3$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 3 - 1 = 5 \\ 1 + 3 + 5 = 3^{2} \end{array}$
$4$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 4 - 1 = 7 \\ 1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2} \end{array}$
$5$	$\begin{array}{l} 2 \cdot 5 - 1 = 9 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2} \end{array}$
$...$	$...$

Aplūkosim šīs summas ģeometrisko interpretāciju.

Izvēlamies kvadrātiņu skaitu atbilstoši katram saskaitāmam. No kvadrātiņiem būvējam lielāku kvadrātu. Redzam, ka kvadrātiņu summa atbilst lielā kvadrāta laukumam. Ievēro, ka $n$ sakrīt ar lielā kvadrāta malas garumu.

Pierādīsim, ka vienādība $1+3+5+7+…+(2n-1)=n^2$ izpildās katram naturālam $n$.

Lai pierādītu apgalvojumu, lietosim matemātiskās indukcijas principu.

Nosauksim doto apgalvojumu par $A(n).$
1) Indukcijas bāze. Ja $n=1$, tad vienādība $A(1)$ ir patiesa, jo

\begin{array}{l} 2 \cdot 1 - 1 = 1^{2} \\ 1 = 1 \end{array}

2) Induktīvais pieņēmums.

Izvēlēsimies kaut kādu naturālu skaitli $k$ un pieņemsim, ka vienādība $A(k)$ ir pareiza, t.i., ka $1+3+5+…+(2k-1)=k^2$
Tātad pieņemam, ka $k$ mazajiem kvadrātiņiem dotais apgalvojums ir spēkā.

3) Induktīvā pāreja.

Pierādīsim, ka tad pareiza ir arī vienādība $A(k+1$), t.i., ($n$ aizstāj ar $k+1$). Iegūst

$1+3+5+…+(2(k+1)-1)=(k+1)^2$

Vispirms pārveidojam vienādības kreiso pusi, neaizmirstam pievienot arī pirmspēdējo saskaitāmo:

$1+3+5+…+(2k-1)+(2(k+1)-1)=$

$=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+2-1)=$

$=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=$

= \underset{⏟}{1 + 3 + 5 + . . . + (2 k - 1)} + (2 k + 1)

No induktīvā pieņēmuma izriet, ka

\underset{⏟}{1 + 3 + 5 + . . . + (2 k - 1)} = k^{2}

Aizstājot bezgalīgo izteiksmi ar $k^2$, iegūst:

\begin{array}{l} \underset{⏟}{1 + 3 + 5 + . . . + (2 k - 1)} + (2 k + 1) = \\ = k^{2} + (2 k + 1) = \\ = k^{2} + 2 k + 1 = \\ = {(k + 1)}^{2} \end{array}

Salīdzinām ar vienādības labo pusi – ar to izteiksmi, kura ir jāiegūst.

Redzam, ka labajā un kreisajā pusē izteiksmes ir vienādas.

Secinājums.

Gan indukcijas bāze, gan pāreja ir pierādītas.

Pēc matemātiskās indukcijas principa vispārīgais apgalvojums $A(n)$ "$1+3+5+…+(2n-1)=n^2$ visiem naturāliem $n$" ir pierādīts.

Drīkst vienlaicīgi pārveidot vienādības abas puses.

Pamēģini patstāvīgi pierādīt apgalvojumu $1+3+5+7+…+(2n+1)=(n+1)^2$ jebkuram naturālam $n$.

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa, JTV skolotāja

Skola2030 kursi

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

Video mācību materiāli

"MATEMĀTIKA II"

PALĪGSMĀCĪBĀS.LV

\(n\)	Summa
\(1\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 1 - 1 = 1 \\ 1 = 1^{2} \end{array}$
\(2\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 2 - 1 = 3 \\ 1 + 3 = 2^{2} \end{array}$
\(3\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 3 - 1 = 5 \\ 1 + 3 + 5 = 3^{2} \end{array}$
\(4\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 4 - 1 = 7 \\ 1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2} \end{array}$
\(5\)	$\begin{array}{l} 2 \cdot 5 - 1 = 9 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2} \end{array}$
\(...\)	\(...\)

9. Matemātiskā indukcija. Bezgalīgas summas formula

Teorija