8. MIP ģeometrijā. Daudzstūra leņķu summa

Lai varētu lietot matemātiskās indukcijas metodi, nedaudz izmainīsim uzdevuma formulējumu: pierādi apgalvojumu \(A(n)\): izliekta \((\)\(n+2)\)-stūra leņķu summa ir vienāda ar $180\mathrm{°}n$, jebkuram naturālam \(n\).

 

1) Indukcijas bāze. Pārbauda, vai ir patiess apgalvojums \(A(1).\)

Caur trijstūra virsotni novelk taisni \(a\), kas paralēla trijstūra malai.

Zaļie leņķi vienādi kā kāpšļu leņķi, arī zilie leņķi vienādi kā kāpšļu leņķi, dzeltenie leņķi vienādi kā krustleņķi. Redzam, ka visi trīs trijstūra leņķi veido izstieptu leņķi, kas ir \(180°\).

 

2) Induktīvais pieņēmums (hipotēze). Pieņem, ka \(A(k)\) ir patiess.

Izliekta \((k\)\(+2)\)-stūra leņķu summa ir vienāda ar $180\mathrm{°}k$.

 

3) Induktīvā pāreja. Pierāda, ka patiess ir arī apgalvojums \(A(k+1).\)

 

Izliekta \((k+1)+2\)  -stūra leņķu summa ir vienāda ar $180\mathrm{°}\left(k+1\right)$.

 

Izvēlamies divas \((k+1)+2\)  -stūra virsotnes, kas atrodas vistuvāk kādai citai virsotnei un novelkam diagonāli (zīmējumā sarkanā krāsā).

  

 

Šī diagonāle sadala \((k+1)+2\)  -stūri divās figūrās: \((k+2)\)-stūrī un trijstūrī.

 

\((k+1)+2\)  -stūra iekšējo leņķu summu var iegūt, ja saskaita \((k+2)\)-stūra leņķu summu ar trijstūra iekšējo leņķu summu, kas ir \(180°.\)

 

Pēc induktīvā pieņēmuma \((k+2)\)-stūra leņķu summa ir $180\mathrm{°}k$.

Tātad \((k+1)+2\)  -stūra iekšējo leņķu summa ir $180\mathrm{°}k+180\mathrm{°}=180\mathrm{°}\left(k+1\right)$, kas bija jāpierāda.