Skola2030 programmas parauguzdevums
Piemērs:
Izpēti un pamato funkciju un monotonitātes intervālus, kritiskos un ekstrēma punktus, grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, izmantojot atvasinājumu.
Lai noteiktu monotonitātes intervālus, kritiskos un ekstrēma punktus, atrod funkcijas pirmo atvasinājumu un to pielīdzina nullei.
Lai noteiktu funkcijas grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, izmanto otro atvasinājumu.
Funkcijas un atvasina pēc dalījuma kārtulas, zinot. ka , .
un
Izpētīsim funkciju tās definīcijas apgabalā .
Atvasināsim funkciju :
Pielīdzinām atvasinājumu nullei, tādējādi nosakot kritiskos punktus.
Redzam, ka neeksistē tādas vērtības, ar kurām funkcijas \( \) atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad funkcijai savā definīcijas apgabalā nav kritisko punktu, sekojoši nav arī ekstrēma punktu (minimuma punkts un maksimuma punkts).
Noskaidrosim monotonitātes intervālus.
Funkcija aug, ja pirmais atvasinājums ir lielāks par nulli.
Redzam, ka funkcija ir augoša visā savā definīcijas apgabalā.
Lai noteiktu grafika izliekumu, ieliekumu un pārliekuma punktus, atrod otro atvasinājumu.
To var izdarīt divējādi. pirmo atvasinājumu var atvasināt kā daļu vai kā pakāpes funkciju.
I veids*:
Funkcijas pārliekums var būt punktos, kuros funkcijas otrais atvasinājums ir nulle vai arī neeksistē. Uzmanies! Ne vienmēr punktos, kuros 2. kārtas atvasinājums ir vienāds ar nulli vai neeksistē, funkcijai ir pārliekums.
Tā kā funkcija ir periodiska, noskaidrosim funkcijas ieliekumu un izliekumu dažos intervālos:
\(x\) | \(0\) | ||||||
\(-\) | \(0\) | \(+\) | neeksistē | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
\(f(x)\) | izliekta (uz augšu) | pārliekums \(0\) | ieliekta (uz leju) | pārliekums, vertikālā asimptota | izliekta | pārliekums \(0\) | ieliekta |
Līniju sauc par izliektu kādā intervālā, ja tā atrodas zem pieskares, kas novilkta brīvi izraudzītā līnijas punktā. Tad .
Līniju sauc par ieliektu kādā punktā, ja tā atrodas virs pieskares, kas novilkta brīvi izraudzītā līnijas punktā. Tad .
Lai vieglāk atcerēties, ieliekts - ieleja, izliekts - izceļas.Konstruē funkcijas grafiku:
*II veids, kā iegūt otro atvasinājumu. Izmanto pakāpes atvasinājumu:
Pamēģini izpētīt funkciju .
Atsauce: