Vienādojumi tg x=a un ctg x=a no vienības riņķa — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Vienādojumus

tg x = a

ctg x = a

var atrisināt, izmantojot vienības riņķa līniju. Trigonometriskais vienības riņķis ir dots matemātikas eksāmena formulu lapā.

Atrisināsim vienādojumu

tg x = 1

Vienības riņķī uz tangensu ass atliek vērtību \(1\).

Uz vienības riņķa līnijas ir divi punkti, kuriem pagrieziena leņķu tangensu vērtība ir \(1\).

Tie ir

\frac{π}{4} un \frac{5 π}{4}

jeb

45 ° un 225 °

. Tomēr abus leņķus neraksta atbildē.

Tā kā abas vērtības savstarpēji atšķiras par tangensa funkcijas periodu

π

, tad abas atbildes var apvienot.

\begin{array}{l} Ja tg x = 1, \\ x = \frac{π}{4} + π n \\ jeb \\ x = 45 ° + 180 ° n, n \in ℤ \end{array}

Līdzīgi risina arī kotangensa pamatvienādojumu.

Atrisināsim vienādojumu

ctg x = - \sqrt{3}

\begin{array}{l} Ja ctg x = - \sqrt{3}, \\ x = \frac{5 π}{6} + π n, n \in ℤ \\ jeb \\ x = 150 ° + 180 ° n, n \in ℤ \end{array}

Piemērs:

Ievēro, kā pieraksta tangensa atbildi, ja leņķis ir IV kvadrantā. Ņem vērā, ka pagrieziena leņķim jābūt no intervāla

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

\begin{array}{l} tg x = - \sqrt{3} \\ x = - \frac{π}{3} + π n, n \in ℤ \\ jeb \\ x = - 60 ° + 180 ° n, n \in ℤ \end{array}

Atšķirībā no sinusa un kosinusa, tangensa un kotangensa vērtību apgabals ir neierobežots.

Piemēram vienādojumiem

\sin x = - \sqrt{3}

\cos x = - \sqrt{3}

sakņu nav, jo

\begin{array}{l} \cos x \in [- 1; 1] \\ \sin x \in [- 1; 1] \end{array}

Ievēro, ka

\begin{array}{l} tg x \in (- \infty; + \infty) \\ ctg x \in (- \infty; + \infty) \end{array}

Tas nozīmē, ka vienādojumiem

tg x = a

ctg x = a

eksistē atrisinājums jebkurai \(a\) vērtībai, vienmēr varēs atrast atbilstošu leņķi \(x.\)

Tālāk mācīsies atrisināt vienādojumus

tg x = a

ctg x = a

, ja skaitlis \(a\) nav vienības riņķī attēlotā vērtība.

Atradi kļūdu?

7. Vienādojumi tg x=a un ctg x=a no vienības riņķa