Vienādojuma cos x=a vispārīgais atrisinājums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Vienādojumam

\cos x = a

eksistē atrisinājums, ja

- 1 \leq a \leq 1

jeb

|a| \leq 1

Vienādojuma atrisinājumu var pierakstīt dažādos veidos - ar grādiem vai ar radiāniem, divās rindiņās vai ar saīsināto pierakstu.

\cos x = a

, tad

x = [\begin{array}{l} \arccos a + 360 ° n \\ - \arccos a + 360 ° n, n \in ℤ \end{array}

Ar radiāniem:

x = [\begin{array}{l} \arccos a + 2 π n \\ - \arccos a + 2 π n, n \in ℤ \end{array}

Šīs atbildes parasti apvieno vienā:

x = \pm \arccos a + 360 ° n, n \in ℤ

Ar radiāniem:

x = \pm \arccos a + 2 π n, n \in ℤ

Arkkosinuss no skaitļa $a$, ir tas pagrieziena leņķis no intervāla

[0; π]

, kura kosinuss ir vienāds ar skaitli $a$.

\begin{array}{l} \arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}, \\ jo \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} un \frac{π}{3} \in [0; π] \end{array}

\arccos (- a) = π - \arccos a

\arccos (- \frac{1}{2}) = π - \arccos \frac{1}{2} = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

, ja leņķi pieraksta ar radiāniem.

\arccos (- \frac{1}{2}) = 180 ° - \arccos \frac{1}{2} = 180 ° - 60 ° = 120 °

, ja leņķi pieraksta ar grādiem.

Ja kosinusa vērtība ir negatīva:

\cos x = - a

, tad

\begin{array}{l} x = \pm \arccos (- a) + 2 π n \\ x = \pm (π - arccosa) + 2 π n, n \in ℤ \end{array}

Šo atbildes formu var pierakstīt arī sekojoši:

x = π \pm arccosa + 2 π n, n \in ℤ

Piemērs:

Atrisini vienādojumus

1) $\cos x = 0, 1$

x = \pm \arccos 0,1 + 2 π n, n \in ℤ

jeb

x = \pm \arccos 0,1 + 360 ° n, n \in ℤ

\cos x = - \frac{1}{2}

x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 π n

jeb

x = \pm 120 ° + 360 n, n \in ℤ

\cos x = - 0,3

\begin{array}{l} x = \pm \arccos (- 0,3) + 2 π n \\ x = \pm (π - \arccos 0,3) + 2 π n, n \in ℤ \end{array}

vai arī

x = π \pm \arccos 0,3 + 2 π n, n \in ℤ

\cos x = - 4

Sakņu nav, jo kosinusa vērtību apgabals ir

[- 1; 1]

, bet

- 4 < - 1

Atsauce:

Materiālu sagatavoja Mg. math. Laima Baltiņa

Atradi kļūdu?

6. Vienādojuma cos x=a vispārīgais atrisinājums