Trigonometriskie vienādojumi ar sadalīšanu reizinātājos — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Ja izteiksmju reizinājums ir vienāds ar nulli, tad vismaz vienam no reizinātājiem ir jābūt vienādam ar nulli. Ja $f(x)g(x)=0$, tad $f(x)=0$ vai $g(x)=0$.

Pielīdzinot katru reizinātāju nullei, šāds vienādojums reducējas uz divu vai vairāku vienādojumu atrisināšanu. Tad sākotnējā vienādojuma atrisinājums ir atsevišķo vienādojumu atrisinājumu apvienojums.

Metodes būtība - vienu sarežģītu vienādojumu pārveido par diviem vai vairākiem vienkāršākiem vienādojumiem.

Trigonometrisko vienādojumu var sadalīt reizinātājos, iznesot pirms iekavām kopīgo reizinātāju.

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

tg x \cdot ctg 2 x = tg x

1) Pārveidojam vienādojumu tā, lai labajā pusē būtu $0$

tg x \cdot ctg 2 x - tg x = 0

2) Pirms iekavām iznes kopīgo reizinātāju

tg x

tg x \cdot (ctg 2 x - 1) = 0

3) Tā kā reizinājums ir vienāds ar nulli, tad vismaz viens no reizinātājiem ir vienāds ar $0 $

tg x = 0, tad x = π n, n \in ℤ

vai

\begin{array}{l} ctg 2 x - 1 = 0 \\ ctg 2 x = 1 \\ 2 x = \frac{π}{4} + π k | : 2 \\ x = \frac{π}{8} + \frac{π}{2} k, k \in ℤ \end{array}

Pārbaudām, vai iegūtās saknes apmierina $tg$ un $ctg$ definīcijas apgabalu.

ctg (π n)

nav definēts. Tātad pirmā no iegūtajām saknēm neder.

Atbilde:

x = \frac{π}{8} + \frac{π}{2} k, k \in ℤ

Trigonometrisko vienādojumu var sadalīt reizinātājos ar grupēšanas metodi.

Piemērs:

Atrisini vienādojumu

tg x \cdot \cos x + 5 = \cos x + 5 tg x

Visus saskaitāmos pārnes uz vienādojuma kreiso pusi un no pirmā un pēdējā saskaitāmā pirms iekavām iznes

tg x

\begin{array}{l} \underline{tg x} \cos x + 5 - \cos x - \underline{5 tg x} = 0 \\ tg x (\cos x - 5) + 5 - \cos x = 0 \\ tg x (\cos x - 5) - (\cos x - 5) = 0 \\ (\cos x - 5) (tg x - 1) = 0 \end{array}

Dotais vienādojums reducējas uz divu trigonometrisko vienādojumu atrisināšanu.

\begin{array}{l} \cos x - 5 = 0 \\ \cos x = 5 \\ \emptyset, jo - 1 \leq \cos x \leq 1 \end{array}

vai

\begin{array}{l} tg x - 1 = 0 \\ tg x = 1 \\ x = \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ \end{array}

Atbilde:

x = \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ

Trigonometrisko vienādojumu var sadalīt reizinātājos, izmantojot kvadrātu starpības formulu.

Piemērs:

\begin{array}{l} \cos x ({tg}^{2} x - 3) = 0 \\ \cos x (tg x - \sqrt{3}) (tg x + \sqrt{3}) = 0 \\ \cos x = 0 \\ x = 90 ° + 180 ° n, n \in ℤ \\ vai \\ tg x - \sqrt{3} = 0 \\ tg x = \sqrt{3} \\ x = 60 ° + 180 ° k, k \in ℤ \\ vai \\ tg x + \sqrt{3} = 0 \\ tg x = - \sqrt{3} \\ x = - 60 ° + 180 ° t, t \in ℤ \end{array}

Pirmā no iegūtajām saknēm nepieder

tg x

definīcijas apgabalam. Kā zināms,

x \neq 90 ° + 180 ° n, n \in ℤ

Atbilde:

\begin{array}{l} x = 60 ° + 180 ° k, k \in ℤ \\ x = - 60 ° + 180 ° t, t \in ℤ \end{array}

Atsauce:

Materiālu sagatavoja. Mg. math. Laima Baltiņa

Iepriekšējā teorija

Atgriezties tēmā

Nākamā teorija

Nosūtīt atsauksmi

Atradi kļūdu?

Sūti mums ziņu!

11. Trigonometriskie vienādojumi ar sadalīšanu reizinātājos

Teorija