Vienādojuma sin x=a vispārīgais atrisinājums — teorija. Matemātika (Skola2030), Matemātika II.

Trigonometriskais pamatvienādojums $\sin x = a$ .

Matemātika I kursā trigonometriskos pamatvienādojumus risina, izmantojot vienības riņķi.

Piemēram, ja

\sin x = 0, 5

, tad

x = 30 ° + 360 ° n

vai

x = 150 ° + 360 ° n, n \in ℤ

Pierakstot atbildi radiānos:

x = \frac{π}{6} + 2 π n

vai

x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, n \in ℤ

Kur

n \in ℤ

nozīmē, ka $n$ vērtības ir veselie skaitļi.

Ievēro! Risinot trigonometriskos vienādojumus, atbildi var rakstīt grādos un var rakstīt radiānos, kā ērtāk.

Kā iegūt leņķa $x$ vērtību, ja skaitļa $a$ vērtību nevar atrast vienības riņķī?

Vienādojumam

\sin x = a

eksistē atrisinājums, ja

- 1 \leq a \leq 1

jeb

|a| \leq 1

Pierakstīsim atbildi vispārīgā veidā, izmantojot sinusa inverso funkciju.

\sin x = a

, tad

x = [\begin{array}{l} \arcsin a + 360 ° n \\ 180 ° - \arcsin a + 360 ° n, n \in ℤ \end{array}

Ar radiāniem:

x = [\begin{array}{l} \arcsin a + 2 π n \\ π - \arcsin a + 2 π n, n \in ℤ \end{array}

Arksinuss no skaitļa $a$, ko pieraksta kā

\arcsin a

, ir tas pagrieziena leņķis no intervāla

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

, kura sinuss ir vienāds ar skaitli $a$. Skaitlis

a \in [- 1; 1]

\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{π}{4}, jo \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

\arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}, jo \sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

Ievēro, ka, ņemot vērā arksinusa definīciju, izvēlas negatīvu 4. kvadranta leņķi no intervāla

[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]

\arcsin (- a) = - \arcsin a

\sin x = - a

, tad

x = [\begin{array}{l} - \arcsin a + 2 π n \\ π + \arcsin a + 2 π n, n \in ℤ \end{array}

Piemērs:

1. Atrisini vienādojumu

\begin{array}{l} \sin x = 0,2 \\ x = [\begin{array}{l} \arcsin 0,2 + 360 ° n \\ 180 ° - \arcsin 0,2 + 360 ° n, n \in ℤ \end{array} \end{array}

vai

x = [\begin{array}{l} \arcsin 0,2 + 2 π n \\ π - \arcsin 0,2 + 2 π n, n \in ℤ \end{array}

2. Atrisini vienādojumu

\begin{array}{l} \sin x = - \frac{1}{3} \\ x = [\begin{array}{l} \arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 π n \\ π - \arcsin (- \frac{1}{3}) + 2 π n \end{array} \\ x = [\begin{array}{l} - \arcsin \frac{1}{3} + 2 π n \\ π + \arcsin \frac{1}{3} + 2 π n, n \in ℤ \end{array} \end{array}

Ja skaitlis $a$ ir lielāks par $1$ vai mazāks par $-1$, vienādojumam sakņu nav.

Vienādojumam

\sin x = \sqrt{7}

sakņu nav, jo sinusa funkcijas vērtību apgabals ir

[- 1; 1]

, bet

\sqrt{7} > 1

Vienādojuma $\sin x = a$ atrisinājumu var uzrakstīt formā

{(- 1)}^{n} \cdot \arcsin a + π n, n \in ℤ

Taču šāda atbilde ir grūtāk izprotama un grūtāk redzēt saistību ar trigonometriskajām vērtībām vienības riņķī.

Atradi kļūdu?

4. Vienādojuma sin x=a vispārīgais atrisinājums