Paskāla trijstūris — teorija. Matemātika, 11. klase.

ONLINE VIDEO KURSS

"MATEMĀTIKA 11. KLASEI"

Kombināciju skaita īpašības

Jebkurām \(n\) un \(m\) vērtībām

(0 \leq m \leq n)

ir pareiza vienādība

C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}

Zinot šo īpašību, dažreiz ir iespēja atvieglot risināšanu.

Piemērs:

Veikalā ir \(7\) jaunas dažādas smaržas. Gita grib pasmaržot \(2\) no smaržām, bet Aija - \(5\) no tām. Cik dažādas iespējas ir katrai no viņām izvēlēties jauno smaržu komplektus izmēģināšanai?

Gitai ir

C_{7}^{2} = \frac{7!}{2! (7 - 2)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = 21

iespējas izvēlēties smaržu pārus, bet Aijai -

C_{7}^{5}

iespējas izvēlēties smaržu pieciniekus.

Tā kā

C_{7}^{5} = C_{7}^{7 - 5} = C_{7}^{2}

, tad, bez risināšanas, uzzinām, ka abām meitenēm ir vienāds izvēļu skaits (\(21\) izvēle).

Kombināciju skaitam ir spēkā īpašība:

C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}, (1 \leq m \leq n)

Piemēram,

C_{3}^{1} = C_{2}^{0} + C_{2}^{1}; C_{3}^{2} = C_{2}^{1} + C_{2}^{2}

Jebkurai pieļaujamai \(n\) vērtībai ir spēkā arī

C_{n}^{0} = 1 C_{n}^{n} = 1

Izmantojot divas pēdējās īpašības, ar kombinācijām var izveidot Paskāla trijstūri.

Paskāla vārdā nosaukto skaitļu trijstūri pazina jau senajā Indijā 2. gs pirms mūsu ēras. 12. gadsimtā tas parādījās Ķīnas matemātiķu darbos. Eiropā to 16. gadsimtā aprakstīja vācu matemātiķis M. Štifels un visbeidzot Paskāls 17. gadsimtā.

Paskāla trijstūris sastāv no skaitļu rindiņām (sk. zīmējumu). Pirmajā rindā ir viens skaitlis, otrajā - divi, trešajā - trīs utt. Pirmais un pēdējais skaitlis katrā rindiņā ir vienāds ar \(1\). Pārējie skaitļi tiek aprēķināti, saskaitot kopā tos divus skaitļus, kas atrodas virs tiem.